Voorbeeld 2 (film)

Beschouw de functie $y(x)=x^4-x^3+2$. Er geldt

1. $y'(x)=4x^3-3x^2$;
2. $y''(x)=12x^2-6x$.

Oplossen van $y''(x)=0$ geeft
$$12x^2-6x=0\Leftrightarrow 12x(x-\frac{1}{2})=0\Leftrightarrow x=0 \vee x=\frac{1}{2}.$$
We kunnen nu de volgende gevallen onderscheiden:

1. $y''(x)\geq 0$ voor iedere $x\leq 0$;
2. $y''(x)=0$ voor $x=0$;
3. $y''(x)\leq 0$ voor iedere $0\leq x\leq \frac{1}{2}$;
4. $y''(x)=0$ voor $x=\frac{1}{2}$;
5. $y''(x)\geq 0$ voor iedere $x\geq \frac{1}{2}$.

Conclusie: $y(x)$ is concaaf op het interval $[0,\frac{1}{2}]$, $y(x)$ is convex op de intervallen $(-\infty,0]$ en $[\frac{1}{2},\infty)$, en $x=0$ en $x=\frac{1}{2}$ zijn buigpunten.