Een bankroetregel $B$ is efficiënt als geldt dat voor ieder bankroetprobleem $(N,E,c)$ precies $E$ verdeelt wordt, dus als geldt dat $$\sum_{i \in N}B_i=E.$$
Een bankroetregel $B$ is eerlijk als geldt dat voor ieder bankroetprobleem $(N,E,c)$ geen enkele speler meer krijgt dan zijn claim, dus als geldt dat $$B_i \leq c_i \text{~voor alle~} i \in N.$$
Is de proportionele regel efficiënt en eerlijk?
De proportionele regel is efficiënt, maar niet eerlijk.
De proportionele regel is niet efficiënt, maar wel eerlijk.
De proportionele regel is niet efficiënt en niet eerlijk.
De proportionele regel is efficiënt en eerlijk.
Correct: We laten eerst zien dat de proportionele regel efficient is. Er geldt
$$\begin{align}
\sum_{i \in N}\text{PROP}_i(N,E,c) & = \sum_{i \in N} \frac{c_i}{\sum_{j \in N}c_j} \cdot E\\
& = \frac{\sum_{i \in N} c_i}{\sum_{j \in N}c_j}\cdot E \\
& = E.
\end{align}$$
Om te laten zien dat de proportionele regel eerlijk is nemen we een willekeurige speler $i \in N$. Dan geldt
$$\begin{align}
\text{PROP}_i(N,E,c) & = \frac{c_i}{\sum_{j \in N}c_j}\cdot E\\
& = \frac{E}{\sum_{j \in N}c_j}\cdot c_i\\
& < c_i,
\end{align}$$
waarbij de ongelijkheid volgt uit de definitie van een bankroetprobleem.
Fout: Merk op dat $$\frac{c_i}{\sum_{j \in N}c_j}\cdot E = \frac{E}{\sum_{j \in N}c_j}\cdot c_i.$$
Probeer de opgave nogmaals.
Fout: Merk op dat $$\sum_{i \in N} \frac{c_i}{\sum_{j \in N}c_j} \cdot E = \frac{\sum_{i \in N} c_i}{\sum_{j \in N}c_j}\cdot E.$$
Probeer de opgave nogmaals.
Fout: Merk op dat $$\frac{c_i}{\sum_{j \in N}c_j}\cdot E = \frac{E}{\sum_{j \in N}c_j}\cdot c_i.$$
Probeer de opgave nogmaals.