Extra uitleg (film)

Stelling: Laat $(N,v)$ een tweepersoonsspel zijn. Dan wordt de Shapleywaarde $\varphi(v)$ gegeven door

$$\varphi(v)=\Big(v(\{1\})+\tfrac{v(\{1,2\})-v(\{1\})-v(\{2\})}{2},v(\{2\})+\tfrac{v(\{1,2\})-v(\{1\})-v(\{2\})}{2}\Big)$$

 

Bewijs: We laten zien dat $\varphi_1(v)=v(\{1\})+\frac{v(\{1,2\})-v(\{1\})-v(\{2\})}{2}$. Het bewijs voor speler 2 gaat op dezelfde manier. We definiëren $\sigma_1=(1,2)$ en $\sigma_2=(2,1)$. Dan geldt

$$\begin{align} \varphi_1(v)&= \frac{1}{2}\big(m^{\sigma_1}_1(v)+m^{\sigma_2}_1(v)\big)\\ &=\frac{1}{2}\big(v(\{1\})+v(\{1,2\})-v(\{2\})\big)\\ &=\frac{1}{2}v(\{1\})+\tfrac{1}{2}v(\{1,2\})-\tfrac{1}{2}v(\{2\})\\ &=v(\{1\})-\frac{1}{2}v(\{1\})+\frac{1}{2}v(\{1,2\})-\frac{1}{2}v(\{2\})\\ &=v(\{1\})+\frac{v(\{1,2\})-v(\{1\})-v(\{2\})}{2}. \end{align}$$