Bewijs 2 (film)

Stelling: Voor iedere $x$ en $y$ gelden de onderstaande eigenschappen.

1. $|-x|=|x|$
2. $|x\cdot y| = |x| \cdot |y|$
3. $-|x| \leq x \leq |x|$

Bewijs:

2. We delen het bewijs op in drie delen. We nemen eerst aan dat $x=0$ (of $y=0$). Vervolgens nemen we aan dat $x>0$ en $y>0$ (of $x<0$ en $y<0$) en uiteindelijk nemen we aan dat $x>0$ en $y<0$ (of $x<0$ en $y>0$).

Neem aan dat $x=0$. Dan geldt
$$\begin{align}
|x \cdot y| & =  |0 \cdot y|\\
& =  |0|\\
& =  0 \\
& =  0 \cdot |y|\\
& =  |0| \cdot |y|\\
& =  |x|\cdot |y|.
\end{align}$$

Neem aan dat $x>0$ en $y>0$. Dan geldt
$$\begin{align}
|x \cdot y| & =  x \cdot y\\
& =  |x|\cdot |y|.
\end{align}$$

Neem aan dat $x>0$ en $y<0$. Dan geldt
$$\begin{align}
|x \cdot y| & =  -x \cdot y\\
& =  x \cdot (-y)\\
& =  |x|\cdot |y|.
\end{align}$$