Bewijs 3 (film)

Stelling: Voor iedere $x$ en $y$ gelden de onderstaande eigenschappen.

1. $|-x|=|x|$
2. $|x\cdot y| = |x| \cdot |y|$
3. $-|x| \leq x \leq |x|$

Bewijs:

3. We delen het bewijs op in drie delen. We nemen eerst aan dat $x<0$. Vervolgens nemen we aan dat $x=0$ en uiteindelijk nemen we aan dat $x>0$.

Neem aan dat $x<0$. Dan $|x|=-x$ en daarom $-|x|=x$ wat impliceert dat $-|x|\leq x$. Verder geldt dat $|x|>-|x|=x$ wat impliceert dat $x \leq |x|$.

Neem aan dat $x=0$. Dan $|x|=0$ wat impliceert dat $-|x|=x=|x|$ en daarom geldt $-|x| \leq x \leq |x|$.

Neem aan dat $x>0$. Dan $|x|=x$ en daarom $x \leq |x|$. Verder geldt dat $-|x|<|x|=x$ wat impliceert dat $-|x|\leq x$.