Beschouw de voorbeeld code met $4$ informatiebits ($abcd$) en $3$ controlebits ($xyz$), waarbij
$x=a\oplus b\oplus c$,
$y=a\oplus b\oplus d$,
$z=a\oplus c\oplus d$.
We zullen nu bekijken hoe fouten herkend en hersteld kunnen worden.
Voorbeeld We versturen codewoord $abcdxyz=1001100$, maar door ruis treedt er een fout op. Stel bijvoorbeeld dat hierdoor het woord $w=10\underline{1}1100$ wordt ontvangen. Allereerst gaan we kijken of het ontvangen woord $w=1011100$ een codewoord is. We doen dit door de bits $a$ t/m $z$ van woord $w$ in te vullen in bovenstaande vergelijkingen. Dit geeft
$1\not=1\oplus 0\oplus 1$,
$0=1\oplus 0\oplus 1$,
$0\not=1\oplus 1\oplus 1$.
Omdat twee van de drie vergelijkingen niet kloppen weten we dat $w$ geen codewoord kan zijn, dus moet er een fout zijn opgetreden bij het verzenden. Deze drie vergelijkingen kunnen ons echter ook vertellen waar de fout is opgetreden. We zien namelijk dat de eerste en derde vergelijking niet kloppen. Zowel bit $a$ als bit $c$ komen in beide vergelijkingen voor. Stel dat in bit $c$ een fout is opgetreden. Dit zou betekenen dat bit $c$ de waarde $0$ zou moeten hebben, in plaats van de ontvangen waarde $1$. Stellen we de waarde van bit $c$ gelijk aan $0$, dan zien we dat alle drie de vergelijkingen weer kloppen. Veranderen we echter de waarde van bit $a$ (van $1$ naar $0$) dan klopt de tweede vergelijking niet meer. Hoogstwaarschijnlijk is er dus een fout opgetreden in bit $c$ en is oorspronkelijk het codewoord $10\underline{0}1100$ verstuurd.
Opmerkingen
Omdat ieder van de drie vergelijkingen wel of niet klopt, zijn er in totaal $2^3=8$ verschillende scenario's mogelijk. Doordat de vergelijkingen slim zijn opgesteld kan steeds eenvoudig worden bepaald in welke bit er een fout is opgetreden. Merk op dat deze code slechts $1$ fout kan herstellen. Bereken je namelijk de afstanden tussen de $8$ codewoorden, dan vind je dat de minimale afstand gelijk is aan $3$. Tot aan $2$ fouten kunnen dus worden herkend, maar slechts $1$ fout kan worden hersteld.
$x=a\oplus b\oplus c$,
$y=a\oplus b\oplus d$,
$z=a\oplus c\oplus d$.
We zullen nu bekijken hoe fouten herkend en hersteld kunnen worden.
Voorbeeld We versturen codewoord $abcdxyz=1001100$, maar door ruis treedt er een fout op. Stel bijvoorbeeld dat hierdoor het woord $w=10\underline{1}1100$ wordt ontvangen. Allereerst gaan we kijken of het ontvangen woord $w=1011100$ een codewoord is. We doen dit door de bits $a$ t/m $z$ van woord $w$ in te vullen in bovenstaande vergelijkingen. Dit geeft
$1\not=1\oplus 0\oplus 1$,
$0=1\oplus 0\oplus 1$,
$0\not=1\oplus 1\oplus 1$.
Omdat twee van de drie vergelijkingen niet kloppen weten we dat $w$ geen codewoord kan zijn, dus moet er een fout zijn opgetreden bij het verzenden. Deze drie vergelijkingen kunnen ons echter ook vertellen waar de fout is opgetreden. We zien namelijk dat de eerste en derde vergelijking niet kloppen. Zowel bit $a$ als bit $c$ komen in beide vergelijkingen voor. Stel dat in bit $c$ een fout is opgetreden. Dit zou betekenen dat bit $c$ de waarde $0$ zou moeten hebben, in plaats van de ontvangen waarde $1$. Stellen we de waarde van bit $c$ gelijk aan $0$, dan zien we dat alle drie de vergelijkingen weer kloppen. Veranderen we echter de waarde van bit $a$ (van $1$ naar $0$) dan klopt de tweede vergelijking niet meer. Hoogstwaarschijnlijk is er dus een fout opgetreden in bit $c$ en is oorspronkelijk het codewoord $10\underline{0}1100$ verstuurd.
Opmerkingen
Omdat ieder van de drie vergelijkingen wel of niet klopt, zijn er in totaal $2^3=8$ verschillende scenario's mogelijk. Doordat de vergelijkingen slim zijn opgesteld kan steeds eenvoudig worden bepaald in welke bit er een fout is opgetreden. Merk op dat deze code slechts $1$ fout kan herstellen. Bereken je namelijk de afstanden tussen de $8$ codewoorden, dan vind je dat de minimale afstand gelijk is aan $3$. Tot aan $2$ fouten kunnen dus worden herkend, maar slechts $1$ fout kan worden hersteld.