Een bankroetregel $B$ is efficiënt als geldt dat voor ieder bankroetprobleem $(N,E,c)$ precies $E$ verdeelt wordt, dus als geldt dat $$\sum_{i\in N}B_i=E.$$
Een bankroetregel $B$ is eerlijk als geldt dat voor ieder bankroetprobleem $(N,E,c)$ geen enkele speler meer krijgt dan zijn claim, dus als geldt dat $$B_i\leq c_i \text{~voor alle~} i \in N.$$
Is de aangepaste proportionele regel efficiënt en eerlijk?
De aangepaste proportionele regel is efficiënt, maar niet eerlijk.
De aangepaste proportionele regel is niet efficiënt, maar wel eerlijk.
De aangepaste proportionele regel is niet efficiënt en niet eerlijk.
De aangepaste proportionele regel is efficiënt en eerlijk.
Correct: We laten eerst zien dat de proportionele regel efficiënt is. Er geldt
$$\begin{align}
\sum_{i \in N}\text{APROP}_i(N,E,c) & = \sum_{i \in N} r_i(N,E,c)+\sum_{i \in N}\text{PROP}_i(N,E',c')\\
& = \sum_{i \in N} r_i(N,E,c)+E'\\
& = \sum_{i \in N} r_i(N,E,c)+E-\sum_{i \in N}r_i(N,E,c)\\
& = E,\\ \end{align}$$
waarbij de tweede gelijkheid volgt uit de efficiëntie van de proportionele regel (Zie Proportionele regel: Opgave 3).
Om te laten zien dat de proportionele regel eerlijk is nemen we een willekeurige speler $i \in N$. Dan geldt
$$\begin{align}
\text{APROP}_i(N,E,c) & = r_i(N,E,c)+\text{PROP}_i(N,E',c')\\
& \leq r_i(N,E,c)+c'_i\\
& = r_i(N,E,c)+\min\{E',c_i-r_i(N,E,c)\}\\
& \leq r_i(N,E,c)+c_i-r_i(N,E,c)\\
& = c_i,
\end{align}$$
waarbij de eerste ongelijkheid volgt uit de eerlijkheid van de proportionele regel (Zie Proportionele regel: Opgave 3) en de tweede ongelijkheid uit de definitie van de minimumfunctie (Zie Maximum- en minimumfunctie).
Fout: Merk op dat $r_i(N,E,c)+\min\{E',c_i-r_i(N,E,c)\} \leq r_i(N,E,c)+c_i-r_i(N,E,c)$.
Probeer de opgave nogmaals.
Fout: Merk op dat $\sum_{i \in N} r_i(N,E,c)+\sum_{i \in N}\text{PROP}_i(N,E',c') = \sum_{i \in N} r_i(N,E,c)+E'$.
Probeer de opgave nogmaals.
Fout: Merk op dat $\sum_{i \in N} r_i(N,E,c)+\sum_{i \in N}\text{PROP}_i(N,E',c') = \sum_{i \in N} r_i(N,E,c)+E'$.
Probeer de opgave nogmaals.