Stelling: De Shapley waarde voldoet aan de eigenschap additiviteit.
Bewijs: Laat $(N,v)$ en $(N,w)$ twee willekeurige spelen zijn en $\sigma$ een willekeurige volgorde van de spelers. Laat $i$ een willekeurige speler en $S$ de groep van spelers, die in de volgorde $\sigma$ voor speler $i$ komen. Dan geldt met de definitie van een somspel en de definitie van marginale vector dat
$$\begin{align}
m^{\sigma}_i(v+w)&=(v+w)(S\cup \{i\})-(v+w)(S)\\
&=v(S\cup \{i\})+w(S\cup \{i\})-\big(v(S)+w(S)\big)\\
&=v(S\cup \{i\})-v(S)+w(S\cup \{i\})-w(S)\\
&=m^{\sigma}_i(v)+m^{\sigma}_i(w).
\end{align}$$
Omdat speler $i$ willekeurig was, geldt dus $m^{\sigma}(v+w)=m^{\sigma}(v)+m^{\sigma}(w)$.
Gebruiken we de formule van de Shapleywaarde, dan zien we dat
$$\begin{align}
\varphi(v+w)&=\frac{1}{n!}\sum_{\mbox{alle}\ \sigma}m^{\sigma}(v+w)\\
&=\frac{1}{n!}\sum_{\mbox{alle}\ \sigma}\big(m^{\sigma}(v)+m^{\sigma}(w)\big)\\
&=\frac{1}{n!}\big(\sum_{\mbox{alle}\ \sigma}m^{\sigma}(v)+\sum_{\mbox{alle}\ \sigma} m^{\sigma}(w)\big)\\
&=\frac{1}{n!}\sum_{\mbox{alle}\ \sigma}m^{\sigma}(v)+\frac{1}{n!}\sum_{\mbox{alle}\ \sigma} m^{\sigma}(w)\\
&=\varphi(v)+\varphi(w).
\end{align}$$
Appendix: Eigenschappen sommatieteken.