Extra uitleg (film)

Stelling: De Shapley waarde voldoet aan de eigenschap additiviteit.

Bewijs: Laat $(N,v)$ en $(N,w)$ twee willekeurige spelen zijn en $\sigma$ een willekeurige volgorde van de spelers. Laat $i$ een willekeurige speler en $S$ de groep van spelers, die in de volgorde $\sigma$ voor speler $i$ komen. Dan geldt met de definitie van een somspel en de definitie van marginale vector dat

$$\begin{align} m^{\sigma}_i(v+w)&=(v+w)(S\cup \{i\})-(v+w)(S)\\ &=v(S\cup \{i\})+w(S\cup \{i\})-\big(v(S)+w(S)\big)\\ &=v(S\cup \{i\})-v(S)+w(S\cup \{i\})-w(S)\\ &=m^{\sigma}_i(v)+m^{\sigma}_i(w). \end{align}$$
Omdat speler $i$ willekeurig was, geldt dus $m^{\sigma}(v+w)=m^{\sigma}(v)+m^{\sigma}(w)$.

Gebruiken we de formule van de Shapleywaarde, dan zien we dat

$$\begin{align} \varphi(v+w)&=\frac{1}{n!}\sum_{\mbox{alle}\ \sigma}m^{\sigma}(v+w)\\ &=\frac{1}{n!}\sum_{\mbox{alle}\ \sigma}\big(m^{\sigma}(v)+m^{\sigma}(w)\big)\\ &=\frac{1}{n!}\big(\sum_{\mbox{alle}\ \sigma}m^{\sigma}(v)+\sum_{\mbox{alle}\ \sigma} m^{\sigma}(w)\big)\\ &=\frac{1}{n!}\sum_{\mbox{alle}\ \sigma}m^{\sigma}(v)+\frac{1}{n!}\sum_{\mbox{alle}\ \sigma} m^{\sigma}(w)\\ &=\varphi(v)+\varphi(w). \end{align}$$

 

Appendix: Eigenschappen sommatieteken.