Integraalrekening
De module "Integraalrekening" geeft een verdieping op het berekenen van integralen. Integralen kom je tegen in diverse gebieden, bijvoorbeeld in economie (bijvoorbeeld berekenen van consumentensurplus), natuurkunde (berekenen van afstand) of statistiek (berekenen van kansen bij een normale verdeling). In ieder geval spelen integralen een grote rol bij het bepalen van oppervlakten die beschreven worden door een (aantal) functie(s).
Voordat de twee nieuwe integratietechnieken worden geïntroduceerd, wordt eerst getoond hoe de oppervlakte onder een grafiek benaderd kan worden met zogeheten onder- en bovensommen. Deze onder- en bovensommen worden berekend door de oppervlakten van slim gekozen rechthoeken te berekenen en op te tellen. Door steeds meer rechthoeken te nemen, kan de oppervlakte (en dus de integraal) steeds nauwkeuriger bepaald worden. We kijken dan naar de zogeheten limiet van onder- en bovensommen. Naast onder- en bovensommen komt ook de hoofdstelling van de integraalrekening aan de orde. Deze stelling geeft aan hoe je integralen kunt berekenen met de techniek van primitiveren. Dit is in feite niets nieuws, dit heb je al geleerd op je eigen school.
De eerste integratietechniek die we gaan behandelen is de technieken van partiële integratie. Deze techniek is gebaseerd op de productregel van het differentiëren en maakt het mogelijk om een primitieve uit te rekenen van bijvoorbeeld de functie f(x) = ln(x).De truc is om een moeilijke integraal, waarvan je niet meteen de primitieve kent, om te schrijven naar een integraal waarvan je de primitieve wel kent. Dit klinkt nog een beetje vaag, maar je zult zien dat je op die wijze eenvoudig een primitieve van f(x) = ln(x) kunt uitrekenen.
De tweede integratietechniek is de techniek van het breuksplitsen. Het idee is hetzelfde als bij partiële integratie: een moeilijke integraal vervangen door een eenvoudigere die we snel kunnen oplossen. Hier maken we gebruik van de eigenschap dat een speciale breuk te schrijven is als het verschil van twee eenvoudigere breuken.
VOORBEELDEN VAN OPGAVEN
- Een auto trekt op en rijdt na 10 seconden verder met constante snelheid. De snelheid (gemeten in meter per seconde) van de auto tijdens het optrekken wordt gegeven v(t) = 1.4t2. De totaal afgelegde afstand in de eerste 10 seconden is gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek v(t) tussen de lijnen t = 0 en t = 10. De vraag is: hoe kunnen we deze oppervlakte precies berekenen?
- Laat met behulp van de limiet van onder- en bovensom zien dat de oppervlakte van het vlakdeel V dat ingesloten wordt door de functie g(x) = 4x, de x-as en de lijnen x = 0 en x = 2 gelijk is aan 8.
- Bereken de volgende integralen:
