Bepaal het evenwicht van de Markovketen met onderstaande overgangsmatrix.
$$\begin{equation}
A=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}& 0 & 0\\
\frac{1}{4}& \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
\end{pmatrix}
\end{equation}$$
$$\begin{equation}
A=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}& 0 & 0\\
\frac{1}{4}& \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
\end{pmatrix}
\end{equation}$$
Antwoord 1 correct
Correct
Antwoord 2 optie
$$\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
-1\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}$$
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
-1\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}$$
Antwoord 2 correct
Fout
Antwoord 3 optie
$$\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
1\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}$$
\begin{pmatrix}
0\\
-1\\
1\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}$$
Antwoord 3 correct
Fout
Antwoord 4 optie
Omdat $A$ niet primitief is, is er geen evenwicht.
Antwoord 4 correct
Fout
Antwoord 1 optie
$$\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0\\
\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}$$
\begin{pmatrix}
0\\
\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}$$
Antwoord 1 feedback
Correct: $$\begin{equation}
A-I_3=\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2}& 0 & 0\\
\frac{1}{4}& -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\
\end{pmatrix}
\end{equation}$$
We stellen $(A-I_3)\underline{x}$ gelijk aan $\underline{0}$ en we krijgen de uitgebreide matrix.
$$\begin{equation}
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2}& 0 & 0&|& 0\\
\frac{1}{4}& -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}&|& 0\\
\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & 0\\
\end{pmatrix}
\end{equation}$$
Dit vegen we naar
$$\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0&|& 0\\
0 & 1& -1 &|& 0\\
0 & 0 & 0 &| & 0\\
\end{pmatrix}
\end{equation}$$
Dus $x_1=0$ en $x_2=x_3$. Verder geldt $x_1+x_2+x_3=1$, omdat $\underline{x}$ een toestandsvector is. Dit levert op
$$\begin{equation}
\begin{pmatrix}
0\\
\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}\\
\end{pmatrix}
\end{equation}$$
Merk op dat $A$ geen primitieve matrix is, omdat er geen overgang is toestanden 2 en 3 naar toestand 1. De twee nullen in de eerste rij zullen dus blijven voor $A^k$ voor iedere $k$. Desondanks heeft deze Markovketen een evenwicht. Een primitieve als overgangsmatrix is dus een garantie voor een evenwicht, maar anders is het niet uitgesloten dat er toch een evenwicht is.
A-I_3=\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2}& 0 & 0\\
\frac{1}{4}& -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\
\end{pmatrix}
\end{equation}$$
We stellen $(A-I_3)\underline{x}$ gelijk aan $\underline{0}$ en we krijgen de uitgebreide matrix.
$$\begin{equation}
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2}& 0 & 0&|& 0\\
\frac{1}{4}& -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}&|& 0\\
\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & 0\\
\end{pmatrix}
\end{equation}$$
Dit vegen we naar
$$\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0&|& 0\\
0 & 1& -1 &|& 0\\
0 & 0 & 0 &| & 0\\
\end{pmatrix}
\end{equation}$$
Dus $x_1=0$ en $x_2=x_3$. Verder geldt $x_1+x_2+x_3=1$, omdat $\underline{x}$ een toestandsvector is. Dit levert op
$$\begin{equation}
\begin{pmatrix}
0\\
\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2}\\
\end{pmatrix}
\end{equation}$$
Merk op dat $A$ geen primitieve matrix is, omdat er geen overgang is toestanden 2 en 3 naar toestand 1. De twee nullen in de eerste rij zullen dus blijven voor $A^k$ voor iedere $k$. Desondanks heeft deze Markovketen een evenwicht. Een primitieve als overgangsmatrix is dus een garantie voor een evenwicht, maar anders is het niet uitgesloten dat er toch een evenwicht is.
Antwoord 2 feedback
Fout: Een evenwicht is ook een toestandsvector en dus moet ieder getal groter of gelijk aan nul zijn.
Zie Markovketen.
Zie Markovketen.
Antwoord 3 feedback
Fout: Een evenwicht is ook een toestandsvector en dus moet ieder getal groter of gelijk aan nul zijn.
Zie Markovketen.
Zie Markovketen.
Antwoord 4 feedback
Fout: $A$ is inderdaad niet primitief, maar dat betekent niet dat er sowieso geen evenwicht is.
Zie Primitieve matrices.
Zie Primitieve matrices.