Opgave 3

Correct: $$\begin{equation} A-I_3=\begin{pmatrix}   -\frac{1}{2}&  0 & 0\\ \frac{1}{4}&  -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{4} &  \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ \end{pmatrix} \end{equation}$$

We stellen $(A-I_3)\underline{x}$ gelijk aan $\underline{0}$ en we krijgen de uitgebreide matrix.

$$\begin{equation} \begin{pmatrix}   -\frac{1}{2}&  0 & 0&|& 0\\ \frac{1}{4}&  -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}&|& 0\\ \frac{1}{4} &  \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & | & 0\\ \end{pmatrix} \end{equation}$$

Dit vegen we naar

$$\begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0&|& 0\\ 0 & 1& -1 &|& 0\\ 0 & 0 & 0 &| & 0\\ \end{pmatrix} \end{equation}$$

Dus $x_1=0$ en $x_2=x_3$. Verder geldt $x_1+x_2+x_3=1$, omdat $\underline{x}$ een toestandsvector is. Dit levert op

$$\begin{equation} \begin{pmatrix} 0\\ \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ \end{pmatrix} \end{equation}$$

Merk op dat $A$ geen primitieve matrix is, omdat er geen overgang is toestanden 2 en 3 naar toestand 1. De twee nullen in de eerste rij zullen dus blijven voor $A^k$ voor iedere $k$. Desondanks heeft deze Markovketen een evenwicht. Een primitieve als overgangsmatrix is dus een garantie voor een evenwicht, maar anders is het niet uitgesloten dat er toch een evenwicht is.

Fout: Een evenwicht is ook een toestandsvector en dus moet ieder getal groter of gelijk aan nul zijn.

Zie Markovketen.

Fout: Een evenwicht is ook een toestandsvector en dus moet ieder getal groter of gelijk aan nul zijn.

Zie Markovketen.

Fout: $A$ is inderdaad niet primitief, maar dat betekent niet dat er sowieso geen evenwicht is.

Zie Primitieve matrices.