1. Home
  2. Wiskunde B
  3. Matrixrekening
  4. Overgangsmatrices
  5. Evenwichten
  6. Evenwichten bepalen
  7. Opgave 2

Opgave 2

Bepaal het evenwicht van de Markovketen met onderstaande overgangsmatrix. (Zie Opgave 2)

$$\begin{equation}
A=\begin{pmatrix}
  \frac{1}{2}&  \frac{1}{6} & \frac{1}{10}\\
0&  \frac{1}{2} & \frac{3}{10}\\
\frac{1}{2} &  \frac{1}{3} & \frac{3}{5}\\
\end{pmatrix}
\end{equation}$$
$$\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}\\
\frac{3}{10}\\
\frac{1}{2}\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\frac{2}{5}\\
\frac{3}{5}\\
0\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}$$
$$\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\frac{15}{31}\\
\frac{10}{31}\\
\frac{6}{31}\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}$$
Bepaal het evenwicht van de Markovketen met onderstaande overgangsmatrix. (Zie Opgave 2)

$$\begin{equation}
A=\begin{pmatrix}
  \frac{1}{2}&  \frac{1}{6} & \frac{1}{10}\\
0&  \frac{1}{2} & \frac{3}{10}\\
\frac{1}{2} &  \frac{1}{3} & \frac{3}{5}\\
\end{pmatrix}
\end{equation}$$
Antwoord 1 correct
Correct
Antwoord 2 optie
$$\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\frac{2}{5}\\
\frac{3}{5}\\
0\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}$$
Antwoord 2 correct
Fout
Antwoord 3 optie
$$\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}$$
Antwoord 3 correct
Fout
Antwoord 4 optie
$$\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\frac{15}{31}\\
\frac{10}{31}\\
\frac{6}{31}\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}$$
Antwoord 4 correct
Fout
Antwoord 1 optie
$$\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}\\
\frac{3}{10}\\
\frac{1}{2}\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}$$
Antwoord 1 feedback
Correct: $$\begin{equation}
A-I_3=\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2}&  \frac{1}{6} & \frac{1}{10}\\
0&  -\frac{1}{2} & \frac{3}{10}\\
\frac{1}{2} &  \frac{1}{3} & -\frac{2}{5}\\
\end{pmatrix}
\end{equation}$$

We stellen $(A-I_3)\underline{x}$ gelijk aan $\underline{0}$ en we krijgen de uitgebreide matrix.

$$\begin{equation}
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{2}&  \frac{1}{6} & \frac{1}{10}&|& 0\\
0&  -\frac{1}{2} & \frac{3}{10}&|& 0\\
\frac{1}{2} &  \frac{1}{3} & -\frac{2}{5} & | & 0\\
\end{pmatrix}
\end{equation}$$

Dit vegen we naar de onderstaande matrix.

$$\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac{2}{5} &|& 0\\
0 & 1& -\frac{3}{5} &|& 0\\
0 & 0 & 0 &| & 0\\
\end{pmatrix}
\end{equation}$$

Dus $x_1=\frac{2}{5}x_3$ en $x_2=\frac{3}{5}x_3$. Verder geldt $x_1+x_2+x_3=1$, omdat $\underline{x}$ een toestandsvector is. Dit levert de onderstaande oplossing op.

$$\begin{equation}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}\\
\frac{3}{10}\\
\frac{1}{2}\\
\end{pmatrix}
\end{equation}$$

Ga door.
Antwoord 2 feedback
Fout: Uit $$\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac{2}{5} &|& 0\\
0 & 1& -\frac{3}{5} &|& 0\\
0 & 0 & 0 &| & 0\\
\end{pmatrix}
\end{equation}$$

volgt $x_1=\frac{2}{5}x_3$ en $x_2=\frac{3}{5}x_3$.

Zie Alle oplossingen.
Antwoord 3 feedback
Fout: Je moet $A-I$ vegen, niet $A$ zelf.

Zie Evenwichten bepalen.
Antwoord 4 feedback
Uit $$\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -\frac{2}{5} &|& 0\\
0 & 1& -\frac{3}{5} &|& 0\\
0 & 0 & 0 &| & 0\\
\end{pmatrix}
\end{equation}$$

volgt $x_1=\frac{2}{5}x_3$ en $x_2=\frac{3}{5}x_3$, niet $\frac{2}{5}x_1=x_3$ en $\frac{3}{5}x_2=x_3$.

Zie Alle oplossingen.