Keuzemodule Complexe getallen

In de loop van jouw leven ben je steeds meer getallen en getalsystemen tegengekomen. Toen je klein was leerde je tellen en zo maakte je kennis met de natuurlijke getallen. Dat systeem was nogal beperkt maar door toevoeging van de negatieve gehele getallen kon je ook verschijnselen als ‘rood staan’ en ‘vrieskou’ beschrijven en leefde je in de wereld van de gehele getallen. Ook deze wereld was niet zaligmakend want het lukte je nog steeds niet om drie pannenkoeken onder vijf personen te verdelen. Toevoeging van breuken bracht hier uitkomst. Je raadt het al, deze wereld van de rationale getallen kende ook zijn beperkingen. Het lukte je niet om bijvoorbeeld een vierkant te construeren waarvan de oppervlakte gelijk was aan 2 en toch ‘wist’ je dat zo’n vierkant bestond. Uitbreiding van de rationale getallen tot het systeem van de reële getallen ondersteunde deze intuïtie. Nu had je het punt bereikt waarop je dacht dat je alle getallen kent die je in het dagelijks leven nodig hebt. Het systeem van de reële getallen heeft ook nog wel nadelen, zo is er geen getal waarvan het kwadraat -1 is, maar daar valt mee te leven. Toch kan het nog gekker en is er nog een groter getallensysteem, het systeem van de complexe getallen. Dit systeem is lastiger te visualiseren dan het systeem van de reële getallen, maar onmogelijk is het niet. Bovendien stellen de complexe getallen je in staat om een aantal verschijnselen uit de reële wereld (denk hierbij aan meetkundige en natuurkundige verschijnselen maar ook aan voorbeelden in de kunstwereld) beter te begrijpen.

In deze module leer je:

• wat complexe getallen zijn en hoe je ermee kunt rekenen;
• hoe je complexe getallen en de rekenkundige bewerkingen hierop kunt visualiseren;
• wat de complexe e-macht is;
• een aantal toepassingen van de complexe getallen binnen de meetkunde en elektrotechniek kennen;
• hoe je met complexe getallen fractals kunt maken.

VOORBEELDEN VAN OPGAVEN

• Vind een gesloten formule voor de som cos(t)+cos(2t)+cos(3t)+…+cos(2010t).
• Start met een willekeurige vierhoek ABCD in het vlak. Stel dat P het midden is van AB, Q het midden van BC, R het midden van CD en S het midden van AD. Laat zien dat de nieuwe vierhoek PQRS een parallellogram is.

DOCENT

De colleges complexe getallen worden verzorgd door prof. dr. Henk Norde.

LITERATUUR

Dictaat  "Wat? Nog meer getallen? Complexe getallen en toepassingen"