Keuzemodule Financiële wiskunde

In de keuzemodule financiële wiskunde gaan we onderzoeken hoe we het beste in aandelen kunnen beleggen en hoe we dat het beste kunnen combineren met sparen. Het is van tevoren niet zeker wat een aandeel opbrengt, maar meestal hebben we er wel een idee van wat de opbrengst ongeveer zal zijn (de verwachte opbrengst) en ook hoe zeker we hiervan zijn (het risico). Door het juiste aandeel te kiezen kunnen we een zo hoog mogelijke verwachte opbrengst krijgen met een zo laag mogelijk risico. Je kunt naast beleggen in één aandeel (of sparen) ook een combinatie van aandelen kiezen en/of beleggen combineren met sparen. Nu kunnen we de verhouding waarin het geld in de aandelen belegd wordt en op de spaarrekening gezet wordt, op een slimme manier kiezen om een zo hoog mogelijke verwachte opbrengst te halen met een zo klein mogelijk risico.

In deze keuzemodule gebruiken we verschillende onderdelen van wiskunde en statistiek, die grotendeels in wiskunde B en D al aan de orde zijn geweest. Statistiek gebruiken we omdat we met onzekerheid te maken hebben, we weten immers niet wat een aandeel precies opbrengt. We denken dan aan de begrippen verwachtingswaarde, variantie en covariantie. Daarnaast willen we een zo hoog mogelijke opbrengst met een zo laag mogelijk risico. Dit houdt in dat we gaan optimaliseren; een bekende techniek uit de wiskunde.

VOORBEELDEN VAN OPGAVEN

• Je kunt aandelen ter waarde van 90 euro kopen in drie voetbalclubs: Ajax, Feyenoord en PSV. Aan het einde van de competitie levert ieder van die aandelen weer wat op, afhankelijk van wie er kampioen is geworden. Deze uitbetalingen staan in de onderstaande tabel.

  	Ajax kampioen	Feyenoord kampioen	PSV kampioen
  Ajax	143	71	89
  Feyenoord	83	143	89
  PSV	90	90	120

  Je kunt dus zien dat als je een aandeel Ajax koopt en PSV wordt kampioen, dan zul je 89 euro krijgen. We gaan ervan uit dat de kans om kampioen te worden voor ieder van de drie clubs even groot is en dat er geen andere club kampioen kan worden (dus voor alle clubs geldt dat de kans om kampioen te worden 1/3 is). Naast het beleggen in één van de drie clubs, kun je je geld op een spaarrekening zetten tegen een rente van 8%. 
  1. Bereken de verwachtingswaarden en varianties van de opbrengst van ieder van de drie aandelen en van de spaarrekening.
  2. Stel nu dat we een fractie w beleggen in Feyenoord en 1-w in PSV. Bepaal de waarde van w zodanig dat de mix van Feyenoord en PSV optimaal is (een zo goed mogelijk rendement met zo min mogelijk risico in combinatie met de spaarrekening). Merk op dat dan geldt dat de Sharpe ratio zo groot mogelijk is.
• Lisanne heeft nutsfunctie U(μ,σ)= μ-2σ². Er zijn twee aandelen, A en B, met verwachte opbrengsten μ_A=120 en μ_B=105 en volatiliteiten σ_A²=20 en  σ_B²=15. De covariantie is σ_A,B=-10. Portefeuille P bestaat uit w aandeel A en 1-waandeel B. Daarnaast kan Lisanne haar geld op een spaarrekening zetten die 90 euro uitkeert. Vind de optimale verdeling van Lisannes geld over de twee aandelen en de spaarrekening.

DOCENT

De colleges financiële wiskunde worden verzorgd door dr. Ruud Hendrickx.

LITERATUUR

Dictaat: Financiële wiskunde