Stelling: Voor iedere c≥0 en x geldt het volgende:
|x|≤c⇔−c≤x≤c.
Bewijs: Neem een c≥0 en een x. We bewijzen eerst dat |x|≤c impliceert dat −c≤x≤c. Vervolgens bewijzen we dat −c≤x≤c impliceert dat |x|≤c. Deze twee stappen vormen samen een compleet bewijs van de stelling.
(⇒) Neem aan dat |x|≤c.
Als x=0, dan volgt direct dat −c≤x≤c.
Als x>0, dan x=|x|≤c en aangezien −c≤0 en 0<x geldt ook dat −c≤x. Daarom geldt dat −c≤x≤c.
Als x<0, dan −x=|x|≤c, waaruit volgt dat −c≤x. Verder geldt dat x<0≤c. De conclusie is dat −c≤x≤c.
(⇐) Neem aan dat −c≤x≤c.
Als x=0, dan volgt direct dat |x|=0≤c.
Als x>0, dan |x|=x≤c.
Als x<0, dan |x|=−x≤−(−c)=c.
|x|≤c⇔−c≤x≤c.
Bewijs: Neem een c≥0 en een x. We bewijzen eerst dat |x|≤c impliceert dat −c≤x≤c. Vervolgens bewijzen we dat −c≤x≤c impliceert dat |x|≤c. Deze twee stappen vormen samen een compleet bewijs van de stelling.
(⇒) Neem aan dat |x|≤c.
Als x=0, dan volgt direct dat −c≤x≤c.
Als x>0, dan x=|x|≤c en aangezien −c≤0 en 0<x geldt ook dat −c≤x. Daarom geldt dat −c≤x≤c.
Als x<0, dan −x=|x|≤c, waaruit volgt dat −c≤x. Verder geldt dat x<0≤c. De conclusie is dat −c≤x≤c.
(⇐) Neem aan dat −c≤x≤c.
Als x=0, dan volgt direct dat |x|=0≤c.
Als x>0, dan |x|=x≤c.
Als x<0, dan |x|=−x≤−(−c)=c.