Stelling: Voor iedere $c\geq0$ en $x$ geldt het volgende:
$$\begin{align}
| x | \leq c & \Leftrightarrow -c \leq x \leq c.
\end{align}$$
Bewijs: Neem een $c\geq0$ en een $x$. We bewijzen eerst dat $|x| \leq c$ impliceert dat $-c\leq x\leq c$. Vervolgens bewijzen we dat $-c\leq x\leq c$ impliceert dat $|x| \leq c$. Deze twee stappen vormen samen een compleet bewijs van de stelling.
($\Rightarrow$) Neem aan dat $|x| \leq c$.
Als $x=0$, dan volgt direct dat $-c\leq x\leq c$.
Als $x>0$, dan $x=|x|\leq c$ en aangezien $-c\leq 0$ en $0<x$ geldt ook dat $-c \leq x$. Daarom geldt dat $-c\leq x\leq c$.
Als $x<0$, dan $-x=|x|\leq c$, waaruit volgt dat $-c \leq x$. Verder geldt dat $x<0\leq c$. De conclusie is dat $-c\leq x\leq c$.
($\Leftarrow$) Neem aan dat $-c \leq x \leq c$.
Als $x=0$, dan volgt direct dat $|x|=0\leq c$.
Als $x>0$, dan $|x|=x\leq c$.
Als $x<0$, dan $|x|=-x\leq -(-c)=c$.
$$\begin{align}
| x | \leq c & \Leftrightarrow -c \leq x \leq c.
\end{align}$$
Bewijs: Neem een $c\geq0$ en een $x$. We bewijzen eerst dat $|x| \leq c$ impliceert dat $-c\leq x\leq c$. Vervolgens bewijzen we dat $-c\leq x\leq c$ impliceert dat $|x| \leq c$. Deze twee stappen vormen samen een compleet bewijs van de stelling.
($\Rightarrow$) Neem aan dat $|x| \leq c$.
Als $x=0$, dan volgt direct dat $-c\leq x\leq c$.
Als $x>0$, dan $x=|x|\leq c$ en aangezien $-c\leq 0$ en $0<x$ geldt ook dat $-c \leq x$. Daarom geldt dat $-c\leq x\leq c$.
Als $x<0$, dan $-x=|x|\leq c$, waaruit volgt dat $-c \leq x$. Verder geldt dat $x<0\leq c$. De conclusie is dat $-c\leq x\leq c$.
($\Leftarrow$) Neem aan dat $-c \leq x \leq c$.
Als $x=0$, dan volgt direct dat $|x|=0\leq c$.
Als $x>0$, dan $|x|=x\leq c$.
Als $x<0$, dan $|x|=-x\leq -(-c)=c$.