Voorbeeld (filmpje)

We bepalen alle extrema van $z(x,y)=5x-x^2-y^2+xy$.

• $z'_x(x,y)=5-2x+y$,
• $z'_y(x,y)=-2y+x$.

$z'_y(x,y)=0$ geeft $x=2y$. Dit vullen we in $z'(x,y)=0$ en dat geeft $5-2(2y)+y=5-3y=0$. Dus $y=\frac{5}{3}$ en $x=2y=2\frac{5}{3}=\frac{10}{3}$.

Het stationaire punt is dus $(x,y)=(\frac{10}{3},\frac{5}{3})$.

• $z''_{xx}=-2$,
• $z''_{yy}=-2$,
• $z''_{xy}=1$.

Dus $C(x,y)=-2\cdot -2 -1^2=3$. Omdat $C(\frac{10}{3},\frac{5}{3})=3>0$ en $z''_{xx}=-2<0$ geldt dat $z(\frac{10}{3},\frac{5}{3})=8\frac{1}{3}$ een maximum is.