Bepaal alle extrema van $z(x,y)=x^2-4xy+xy^2+y^3+2$.
Antwoord 1 correct
Correct
Antwoord 2 optie
- $z(-16,8)=1186$ is een maximum
- $z(0,0)=2$ is een maximum
- $z(1\frac{1}{2},1)=\frac{3}{4}$ is een minimum
Antwoord 2 correct
Fout
Antwoord 3 optie
Er zijn geen extrema.
Antwoord 3 correct
Fout
Antwoord 4 optie
Geen van de overige antwoorden is correct.
Antwoord 4 correct
Fout
Antwoord 1 optie
$z(1\frac{1}{2},1)=\frac{3}{4}$ is een minimum
Antwoord 1 feedback
Correct:
$$\begin{align*}
z'_y(x,y)& =-4x+2xy+3y^2\\
& = -4(2y-\frac{1}{2}y^2)+2(2y-\frac{1}{2}y^2)y+3y^2\\
& = -y^3+9y^2-8y\\
& = -y(y^2-9y+8).
\end{align*}$$
Dus $z'_y(x,y)=0$ als $y=0$ (met $x=0$), $y=1$ (met $x=1\frac{1}{2}$) of $y=8$ (met $x=-16$).
Omdat $C(0,0)=-16<0$ en $C(-16,8)=-112<0$ zijn $(0,0)$ en $(-16,8)$ zadelpunten.
Omdat $C(1\frac{1}{2},1)=14>0$ en $z''_{xx}(1\frac{1}{2},1)=2>0$ geldt dat $z(1\frac{1}{2},1)=\frac{3}{4}$ een minimum is.
Ga door.
- $z'_x(x,y)=2x-4y+y^2$
- $z'_y(x,y)=-4x+2xy+3y^2$
$$\begin{align*}
z'_y(x,y)& =-4x+2xy+3y^2\\
& = -4(2y-\frac{1}{2}y^2)+2(2y-\frac{1}{2}y^2)y+3y^2\\
& = -y^3+9y^2-8y\\
& = -y(y^2-9y+8).
\end{align*}$$
Dus $z'_y(x,y)=0$ als $y=0$ (met $x=0$), $y=1$ (met $x=1\frac{1}{2}$) of $y=8$ (met $x=-16$).
- $z''_{xx}=2$
- $z''_{yy}=2x+6y^2$
- $z''_{xy}=-4+2y$
Omdat $C(0,0)=-16<0$ en $C(-16,8)=-112<0$ zijn $(0,0)$ en $(-16,8)$ zadelpunten.
Omdat $C(1\frac{1}{2},1)=14>0$ en $z''_{xx}(1\frac{1}{2},1)=2>0$ geldt dat $z(1\frac{1}{2},1)=\frac{3}{4}$ een minimum is.
Ga door.
Antwoord 2 feedback
Fout: Als $C(c,d)<0$ betekent dit niet dat stationair punt $(c,d)$ een maximum is.
Zie Tweede orde criterium extremum.
Zie Tweede orde criterium extremum.
Antwoord 3 feedback
Fout: $(0,0)$ is niet het enige stationaire punt.
Probeer de opgave nogmaals.
Probeer de opgave nogmaals.
Antwoord 4 feedback
Fout: Het goede antwoord staat er wel tussen.
Probeer de opgave nogmaals.
Probeer de opgave nogmaals.