Opgave 3

Correct:

• $z'_x(x,y)=2x-4y+y^2$
• $z'_y(x,y)=-4x+2xy+3y^2$

$z'_x(x,y)=0$ geeft $x=2y-\frac{1}{2}y^2$. Dus
$$\begin{align*} z'_y(x,y)& =-4x+2xy+3y^2\\ & = -4(2y-\frac{1}{2}y^2)+2(2y-\frac{1}{2}y^2)y+3y^2\\ & = -y^3+9y^2-8y\\ & = -y(y^2-9y+8). \end{align*}$$
Dus $z'_y(x,y)=0$ als $y=0$ (met $x=0$), $y=1$ (met $x=1\frac{1}{2}$) of $y=8$ (met $x=-16$).

• $z''_{xx}=2$
• $z''_{yy}=2x+6y^2$
• $z''_{xy}=-4+2y$

Dus $C(x,y)=4x+12y^2-(2y-4)^2$.

Omdat $C(0,0)=-16<0$ en $C(-16,8)=-112<0$ zijn $(0,0)$ en $(-16,8)$ zadelpunten.

Omdat $C(1\frac{1}{2},1)=14>0$ en $z''_{xx}(1\frac{1}{2},1)=2>0$ geldt dat $z(1\frac{1}{2},1)=\frac{3}{4}$ een minimum is.

Ga door.

Fout: Als $C(c,d)<0$ betekent dit niet dat stationair punt $(c,d)$ een maximum is.

Zie Tweede orde criterium extremum.

Fout: $(0,0)$ is niet het enige stationaire punt.

Probeer de opgave nogmaals.

Fout: Het goede antwoord staat er wel tussen.

Probeer de opgave nogmaals.