Laat $(N,v)$ een coöperatief spel zijn
- Egalitaire verdeling, $E(v)$, gedefinieerd door $E_i(v)=\frac{v(N)}{n}$, voor alle $i\in N$.
- Utopia verdeling, $U(v)$, gedefinieerd door $U_i(v)=v(N)-v(N\backslash\{i\})$, voor alle $i\in N$.
Voldoen deze verdelingen aan additiviteit?
De Egalitaire verdeling voldoet aan additiviteit, de Utopia verdeling niet.
De Egalitaire verdeling voldoet niet aan additiviteit, de Utopia verdeling wel.
Beide verdelingen voldoen niet aan additiviteit.
Beide verdelingen voldoen aan additiviteit.
Correct: Beschouw de spelen $(N,v)$ en $(N,w)$ en neem een willekeurige speler $i \in N$. Dan geldt
$$\begin{align*}
E_i(v+w) & = \frac{(v+w)(N)}{n}\\
& = \frac{v(N)+w(N)}{n}\\
& = \frac{v(N)}{n}+\frac{w(N)}{n}\\
& = E_i(v)+E_i(w).
\end{align*}$$
De Egalitaire verdeling voldoet dus aan additiviteit. Verder geldt
$$\begin{align*}
U_i(v+w) & = (v+w)(N)-(v+w)(N\backslash \{i\})\\
& = (v(N)+w(N))-(v(N\backslash \{i\})+w(N\backslash \{i\}))\\
& = (v(N) - v(N\backslash \{i\})) + (w(N) - w(N\backslash \{i\})) \\
& = U_i(v)+U_i(w)
\end{align*}$$
De Utopia verdeling voldoet dus ook aan additiviteit.
Fout: Beschouw de spelen $(N,v)$ en $(N,w)$ en neem een willekeurige speler $i \in N$. Dan geldt $$(v(N)+w(N))-(v(N\backslash \{i\})+w(N\backslash \{i\}))=(v(N) - v(N\backslash \{i\})) + (w(N) - w(N\backslash \{i\})).$$
Probeer de opgave nogmaals.
Fout: Beschouw de spelen $(N,v)$ en $(N,w)$ en neem een willekeurige speler $i \in N$. Dan geldt $\frac{(v+w)(N)}{n}=\frac{v(N)+w(N)}{n}$.
Probeer de opgave nogmaals.
Fout: Beschouw de spelen $(N,v)$ en $(N,w)$ en neem een willekeurige speler $i \in N$. Dan geldt $\frac{(v+w)(N)}{n}=\frac{v(N)+w(N)}{n}$.
Probeer de opgave nogmaals.