Opgave 2 | Wiskunde op Tilburg University

Laat $(N,v)$ een coöperatief spel zijn . Bekijk de volgende verdeelregels:

Egalitaire verdeling, $E(v)$ , gedefinieerd door $E_i(v)=\frac{v(N)}{n}$ , voor alle $i\in N$ .
Utopia verdeling, $U(v)$ , gedefinieerd door $U_i(v)=v(N)-v(N\backslash\{i\})$ , voor alle $i\in N$ .

Voldoen deze verdelingen aan additiviteit?

Antwoord 1 correct

Correct

Antwoord 2 optie

De Egalitaire verdeling voldoet aan additiviteit, de Utopia verdeling niet.

Antwoord 2 correct

Fout

Antwoord 3 optie

De Egalitaire verdeling voldoet niet aan additiviteit, de Utopia verdeling wel.

Antwoord 3 correct

Fout

Antwoord 4 optie

Beide verdelingen voldoen niet aan additiviteit.

Antwoord 4 correct

Fout

Antwoord 1 optie

Beide verdelingen voldoen aan additiviteit.

Antwoord 1 feedback

Correct: Beschouw de spelen $(N,v)$ en $(N,w)$ en neem een willekeurige speler $i \in N$ . Dan geldt

$\begin{align*} E_i(v+w) & = \frac{(v+w)(N)}{n}\\ & = \frac{v(N)+w(N)}{n}\\ & = \frac{v(N)}{n}+\frac{w(N)}{n}\\ & = E_i(v)+E_i(w). \end{align*}$

De Egalitaire verdeling voldoet dus aan additiviteit. Verder geldt

$\begin{align*} U_i(v+w) & = (v+w)(N)-(v+w)(N\backslash \{i\})\\ & = (v(N)+w(N))-(v(N\backslash \{i\})+w(N\backslash \{i\}))\\ & = (v(N) - v(N\backslash \{i\})) + (w(N) - w(N\backslash \{i\})) \\ & = U_i(v)+U_i(w) \end{align*}$

De Utopia verdeling voldoet dus ook aan additiviteit.

Antwoord 2 feedback

Fout: Beschouw de spelen $(N,v)$ en $(N,w)$ en neem een willekeurige speler $i \in N$ . Dan geldt $(v(N)+w(N))-(v(N\backslash \{i\})+w(N\backslash \{i\}))=(v(N) - v(N\backslash \{i\})) + (w(N) - w(N\backslash \{i\})).$

Probeer de opgave nogmaals.

Antwoord 3 feedback

Fout: Beschouw de spelen $(N,v)$ en $(N,w)$ en neem een willekeurige speler $i \in N$ . Dan geldt $\frac{(v+w)(N)}{n}=\frac{v(N)+w(N)}{n}$ .

Probeer de opgave nogmaals.

Antwoord 4 feedback

Fout: Beschouw de spelen $(N,v)$ en $(N,w)$ en neem een willekeurige speler $i \in N$ . Dan geldt $\frac{(v+w)(N)}{n}=\frac{v(N)+w(N)}{n}$ .

Probeer de opgave nogmaals.