Voorbeeld

Beschouw de functie $y(x) = 5x^2 - 3x + 10$. Wat is de afgeleide van deze functie in $x=1$?In het plaatje hieronder kun je de grafiek van de functie $y(x)$ zien en ook de lijn die raakt aan de grafiek in het punt $(x,y)=(1,12)$. Deze lijn wordt de raaklijn genoemd. De afgeleide van $y(x)$ in het punt $x=1$ geeft de richtingscoëfficiënt van de raaklijn.

Om een idee te krijgen van de waarde van de afgeleide in het punt $x=1$, zullen we eerst het differentiequotiënt voor steeds kleiner wordende waarden van $\Delta x$ berekenen; we gebruiken hierbij dat $y(1)=5\cdot1^2 -3\cdot1 + 10 = 12$.
$$\begin{array}{c|c|c} \Delta x & y(1+\Delta x) & \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\\[3mm] \hline 2 & 46 & \dfrac{46-12}{2} = 17\\[3mm] 1 & 24 & \dfrac{24-12}{1} = 12\\[3mm] \tfrac{1}{2} & 16\tfrac{3}{4} & \dfrac{16\tfrac{3}{4}-12}{\tfrac{1}{2}} = 9\tfrac{1}{2}\\[3mm] \tfrac{1}{10} & 12\tfrac{3}{4} & \dfrac{12\tfrac{3}{4}-12}{\tfrac{1}{10}} = 7\tfrac{1}{2}\\[3mm] \tfrac{1}{100} & 12\tfrac{141}{2000} & \dfrac{12\tfrac{141}{2000}-12}{\tfrac{1}{100}} = 7\tfrac{1}{20} \end{array}$$
Hoe dichter $\Delta x$ bij 0 komt, des te dichter komt het differentiequotiënt bij 7. Maar betekent dit nu ook dat $y'(1)=7$? Dat gaan we nu wiskundig laten zien. We berekenen het differentiequotiënt met startwaarde 1 en verandering $\Delta x$:
$$\begin{align} \dfrac{(y(1+\Delta x)-y(1)}{\Delta x}& = \dfrac{5(1+\Delta x)^2 -3(1+\Delta x)+10-12}{\Delta x} = \dfrac{5(1+2\Delta x + (\Delta x)^2) - 3(1+\Delta x) - 2}{\Delta x} \\ &= \dfrac{5 + 10\Delta x + 5(\Delta x)^2 - 3 - 3\Delta x - 2}{\Delta x} = \dfrac{5(\Delta x)^2 + 7\Delta x}{\Delta x} = 5\Delta x + 7. \end{align}$$
Als nu $\Delta x$ naar 0 gaat, dan zal het differentieqoutiënt naar $5\cdot 0 + 7=7$ gaan, dus de afgeleide van $y(x)$ in het punt $x=1$ is inderdaad $y'(1)=7$.