Differentiequotiënt

Introductie: In veel gevallen zijn we geïnteresseerd in de verandering van de functiewaarde $y(x)$ als de variabele $x$ verandert. Zo'n verandering in $x$ noteren we met $\Delta x$. De variabele heeft dus de nieuwe waarde
$$x + \Delta x.$$
Als $\Delta x$ positief is, spreken we van een toename of stijging; als $\Delta x$ negatief is, spreken we van een daling. De nieuwe functiewaarde vinden we door $x+\Delta x$ in te vullen; de nieuwe functiewaarde wordt dus
$$y(x+\Delta x).$$
De verandering in de functiewaarde kunnen we noteren door
$$\Delta y = y(x+\Delta x) - y(x).$$
De gemiddelde verandering van de functiewaarde als $x$ verandert met $\Delta x$ is dan het quotiënt van $\Delta y$ en $\Delta x$; dit quotiënt noemen we het differentiequotiënt.

Definitie: Het differentiequotiënt van de functie $y(x)$ in het punt $x$ bij een verandering  $\Delta x$ is het quotiënt:
$$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}  = \dfrac{y(x+\Delta x) - y(x)}{\Delta x}.$$

We kunnen het differentiequotiënt ook in een plaatje weergeven, zoals je hieronder kunt zien. Het differentiequotiënt van de functie $y(x)$ is hierin gelijk aan de richtingscoëfficiënt van de lijn door de punten $P(x,y(x))$ en $Q(x+\Delta x,y(x+\Delta x))$.