Voorbeeld 1

Machtsfunctie:
We bekijken de functie $y(x) = x^3 + 2x^2 - 3$ en willen graag weten wat de gemiddelde verandering in de functie waarde is als $x$ toeneemt van $x=2$ naar $x=5$. Dit betekent dat we te maken hebben met
$$\Delta x = 5-2=3.$$
Verder hebben we de waarden in $y(x)=y(2)$ en $y(x+\Delta x) = y(5)$ nodig:
$$\begin{align} y(2) &= 2^3 + 2\cdot2^2 - 3 = 13,\\ y(5) &= 5^3 + 2\cdot5^2 - 3 = 172. \end{align}$$
We kunnen nu het gevraagde differentiequotiënt uitrekenen:
$$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x} = \dfrac{y(5)-y(2)}{3} = \dfrac{172-13}{3} = \dfrac{159}{3} = 53.$$

Natuurlijke logaritme:
We bekijken een tweede functie $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ en willen nu graag de gemiddelde verandering in de functiewaarde berekenen als $x$ afneemt van $x=2$ naar $x=0$. We hebben dan te maken met
$$\Delta x = 0 - 2 = -2.$$
Verder hebben we de waarden in $f(x)=f(2)$ en $f(x+\Delta x) = f(0)$ nodig:
$$\begin{align} f(2) &= \ln(2^2 + 1) = \ln(5),\\ f(0) &= \ln(0^2 + 1) = \ln(1) = 0. \end{align}$$
We kunnen nu het gevraagde differentiequotiënt uitrekenen:
$$\dfrac{\Delta f}{\Delta x} = \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \dfrac{f(0)-f(2)}{-2} = \dfrac{0-\ln(5)}{-2} = \tfrac{1}{2}\ln(5).$$