Voorbeeld 2 (film)

Beschouw de functie $y(x) = \sqrt{x}$. Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van deze functie in $(4,2)$. In de figuur hieronder is de situatie geschetst.

De algemene vorm van de raaklijn is $t(x)=ax + b$, waarbij $a$ de richtingscoëfficiënt is en $b$ het snijpunt met de $y$-as. De richtingscoëfficiënt is gelijk aan de afgeleide van $y(x)$ in het punt $x=4$, dus $a=y'(4)$. Nu lijkt het op het eerste gezicht misschien niet mogelijk om met de afgeleiden van elementaire functies de afgeleide van $y(x)$ te bepalen, aangezien de wortel niet in de tabel staat, maar bedenk dan dat geldt dat $y(x) = \sqrt{x} = x^{\tfrac{1}{2}}$. We kunnen dus regel (2) uit de tabel gebruiken.

$$\begin{align} y'(x) &= \tfrac{1}{2} x^{\tfrac{1}{2}-1} = \tfrac{1}{2} x^{-\tfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x^{\tfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}},\\ y'(4) &= \dfrac{1}{2\cdot\sqrt{4}} = \tfrac{1}{4}. \end{align}$$
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is $\tfrac{1}{4}$; de vergelijking van de raaklijn is nu $t(x)=\tfrac{1}{4}x+b$. We weten verder dat de raaklijn door het punt $(x,y)=(4,\sqrt{4})=(4,2)$ gaat; dat is immers het punt op $y(x)$ waar de raaklijn de grafiek van $y(x)$ raakt. Door dit punt in te vullen in de raaklijn, kunnen we ook $b$ bepalen:
$$\begin{align} t(x) &= \tfrac{1}{4}x + b\\ 2 &= \tfrac{1}{4}\cdot 4 + b = 1+b\\ b&= 1. \end{align}$$
De vergelijking van de raaklijn is dus $t(x) = \tfrac{1}{4} x + 1$.