Om de extrema van de functie $z(x,y)=3x^2+2xy+\frac{1}{3}y^3$ te bepalen, dienen we eerst de stationaire punten te bepalen. Ofwel, alle punten $(x,y)$ waarvoor de eerste orde partiële afgeleiden $z'_x(x,y)$ en $z'_y(x,y)$ beide gelijk aan nul zijn. Dit geeft het stelsel
$$\left\{ \begin{array}{lr} z'_x(x,y)=6x+2y=0 & (1)\\z'_y(x,y)=2x+y^2=0 & (2)\end{array} \right.$$
Om dit stelsel te vereenvoudigen trekken we van vergelijking 1 driemaal vergelijking 2 af. Dit geeft het stelsel
$$\left\{ \begin{array}{lr} 2y-3y^2=0& (1)\\2x+y^2=0& (2) \end{array} \right.$$
We kunnen het stelsel nog wat vereenvoudigen door de vergelijkingen te herschrijven tot
$$\left\{ \begin{array}{lr} 2y(1-\frac{3}{2}y)=0& (1)\\x=-\frac{1}{2}y^2& (2) \end{array} \right.$$
Uit vergelijking 1 volgt dat $y=0$ of $y=\frac{2}{3}$. Vullen we deze waarden in vergelijking 2 in, dan vinden we dat $x=0$ of $x=-\frac{2}{9}$. De stationaire punten van $z(x,y)$ zijn dus $(0,0)$ en $(-\frac{2}{9},\frac{2}{3})$.
Om te bepalen of de stationaire punten ook extrema zijn, dienen we deze punten in te vullen in de criteriumfunctie. Uit $z''_{xx}(x,y)=6$, $z''_{yy}(x,y)=2y$ en $z''_{xy}(x,y)=z''_{yx}(x,y)=2$ volgt de criteriumfunctie
$$C(x,y)=12y-4.$$
Invullen van $(0,0)$ geeft $C(0,0)=-4<0$, dus volgens het tweede orde criterium is $(0,0)$ een zadelpunt.
Invullen van $(-\frac{2}{9},\frac{2}{3})$ geeft $C(-\frac{2}{9},\frac{2}{3})=4>0$ en $z''_{xx}(-\frac{2}{9},\frac{2}{3})=6>0$, dus volgens het tweede orde criterium is $(-\frac{2}{9},\frac{2}{3})$ een minimumlocatie.
$$\left\{ \begin{array}{lr} z'_x(x,y)=6x+2y=0 & (1)\\z'_y(x,y)=2x+y^2=0 & (2)\end{array} \right.$$
Om dit stelsel te vereenvoudigen trekken we van vergelijking 1 driemaal vergelijking 2 af. Dit geeft het stelsel
$$\left\{ \begin{array}{lr} 2y-3y^2=0& (1)\\2x+y^2=0& (2) \end{array} \right.$$
We kunnen het stelsel nog wat vereenvoudigen door de vergelijkingen te herschrijven tot
$$\left\{ \begin{array}{lr} 2y(1-\frac{3}{2}y)=0& (1)\\x=-\frac{1}{2}y^2& (2) \end{array} \right.$$
Uit vergelijking 1 volgt dat $y=0$ of $y=\frac{2}{3}$. Vullen we deze waarden in vergelijking 2 in, dan vinden we dat $x=0$ of $x=-\frac{2}{9}$. De stationaire punten van $z(x,y)$ zijn dus $(0,0)$ en $(-\frac{2}{9},\frac{2}{3})$.
Om te bepalen of de stationaire punten ook extrema zijn, dienen we deze punten in te vullen in de criteriumfunctie. Uit $z''_{xx}(x,y)=6$, $z''_{yy}(x,y)=2y$ en $z''_{xy}(x,y)=z''_{yx}(x,y)=2$ volgt de criteriumfunctie
$$C(x,y)=12y-4.$$
Invullen van $(0,0)$ geeft $C(0,0)=-4<0$, dus volgens het tweede orde criterium is $(0,0)$ een zadelpunt.
Invullen van $(-\frac{2}{9},\frac{2}{3})$ geeft $C(-\frac{2}{9},\frac{2}{3})=4>0$ en $z''_{xx}(-\frac{2}{9},\frac{2}{3})=6>0$, dus volgens het tweede orde criterium is $(-\frac{2}{9},\frac{2}{3})$ een minimumlocatie.