Om de extrema van de functie z(x,y)=3x2+2xy+13y3 te bepalen, dienen we eerst de stationaire punten te bepalen. Ofwel, alle punten (x,y) waarvoor de eerste orde partiële afgeleiden z′x(x,y) en z′y(x,y) beide gelijk aan nul zijn. Dit geeft het stelsel
{z′x(x,y)=6x+2y=0(1)z′y(x,y)=2x+y2=0(2)
Om dit stelsel te vereenvoudigen trekken we van vergelijking 1 driemaal vergelijking 2 af. Dit geeft het stelsel
{2y−3y2=0(1)2x+y2=0(2)
We kunnen het stelsel nog wat vereenvoudigen door de vergelijkingen te herschrijven tot
{2y(1−32y)=0(1)x=−12y2(2)
Uit vergelijking 1 volgt dat y=0 of y=23. Vullen we deze waarden in vergelijking 2 in, dan vinden we dat x=0 of x=−29. De stationaire punten van z(x,y) zijn dus (0,0) en (−29,23).
Om te bepalen of de stationaire punten ook extrema zijn, dienen we deze punten in te vullen in de criteriumfunctie. Uit z″xx(x,y)=6, z″yy(x,y)=2y en z″xy(x,y)=z″yx(x,y)=2 volgt de criteriumfunctie
C(x,y)=12y−4.
Invullen van (0,0) geeft C(0,0)=−4<0, dus volgens het tweede orde criterium is (0,0) een zadelpunt.
Invullen van (−29,23) geeft C(−29,23)=4>0 en z″xx(−29,23)=6>0, dus volgens het tweede orde criterium is (−29,23) een minimumlocatie.
{z′x(x,y)=6x+2y=0(1)z′y(x,y)=2x+y2=0(2)
Om dit stelsel te vereenvoudigen trekken we van vergelijking 1 driemaal vergelijking 2 af. Dit geeft het stelsel
{2y−3y2=0(1)2x+y2=0(2)
We kunnen het stelsel nog wat vereenvoudigen door de vergelijkingen te herschrijven tot
{2y(1−32y)=0(1)x=−12y2(2)
Uit vergelijking 1 volgt dat y=0 of y=23. Vullen we deze waarden in vergelijking 2 in, dan vinden we dat x=0 of x=−29. De stationaire punten van z(x,y) zijn dus (0,0) en (−29,23).
Om te bepalen of de stationaire punten ook extrema zijn, dienen we deze punten in te vullen in de criteriumfunctie. Uit z″xx(x,y)=6, z″yy(x,y)=2y en z″xy(x,y)=z″yx(x,y)=2 volgt de criteriumfunctie
C(x,y)=12y−4.
Invullen van (0,0) geeft C(0,0)=−4<0, dus volgens het tweede orde criterium is (0,0) een zadelpunt.
Invullen van (−29,23) geeft C(−29,23)=4>0 en z″xx(−29,23)=6>0, dus volgens het tweede orde criterium is (−29,23) een minimumlocatie.