Tweede orde criterium

Introductie: De functie $z(x,y)$ is een functie van twee variabelen. We kunnen dus niet meer spreken van de afgeleide van $z(x,y)$, maar moeten aangeven of we de partiële afgeleide naar $x$ of naar $y$ bedoelen, ofwel $z'_x(x,y)$ of $z'_y(x,y)$.

Een functie van één variabele is convex als de afgeleide toeneemt, ofwel als de tweede afgeleide niet-negatief is. Een zelfde redenering gaat op voor een functie van twee variabelen. We dienen nu echter de tweede partiële afgeleiden van $z(x,y)$ te bekijken, ofwel $z''_{xx}(x,y)$, $z''_{yy}(x,y)$ en $z''_{xy}(x,y)=z''_{yx}(x,y)$.

Of een functie van twee variabelen convex of concaaf is, is afhankelijk van het teken van de criteriumfunctie
$$C(x,y)=z''_{xx}(x,y)z''_{yy}(x,y)-(z''_{xy}(x,y))^2.$$

Tweede orde criterium voor een convexe/concave functie

• Als $C(x,y)\geq 0$, $z''_{xx}(x,y)\geq 0$ en $z''_{yy}(x,y)\geq 0$ op een gebied, dan is de functie $z(x,y)$ convex op het gebied.
• Als $C(x,y)\geq 0$, $z''_{xx}(x,y)\leq 0$ en $z''_{yy}(x,y)\leq 0$ op een gebied, dan is de functie $z(x,y)$ concaaf op het gebied.

Een functie waarvoor $C(x,y)< 0$ is convex noch concaaf.