Voorbeeld

Beschouw de functie $z(x,y)=3x^2+2xy+y^3$ met $x\geq 0$ en $y\geq 1$.

Voor de eerste orde partiële afgeleiden geldt

1. $z'_x(x,y)=6x+2y$;
2. $z'_y(x,y)=2x+3y^2$.

Voor de tweede orde partiële afgeleiden geldt

1. $z''_{xx}(x,y)=6$;
2. $z''_{yy}(x,y)=6y$;
3. $z''_{xy}(x,y)=z''_{yx}(x,y)=2$.

Hieruit volgt de criteriumfunctie $C(x,y)=6\cdot 6y-(2)^2=36y-4$.

Aangezien $C(x,y)\geq 0$, $z''_{xx}(x,y)\geq 0$ en $z''_{yy}(x,y)\geq 0$, voor $x\geq 0$ en $y\geq 1$, volgt uit het tweede orde criterium dat de functie $z(x,y)$ convex is op het gebied waar $x\geq 0$ en $y\geq 1$.