Extra uitleg (film)

Stelling: De Shapleywaarde voldoet aan de dummy eigenschap.

Bewijs: Laat $(N,v)$ een spel zijn en laat speler $i$ een dummyspeler in dit spel zijn. De Shapleywaarde voldoet aan de dummy eigenschap als $\varphi_i(v)=v(\{i\})$. Laat $\sigma$ een willekeurige volgorde van de spelers zijn en laat $S$ de verzameling van spelers zijn die, in deze volgorde, vóór speler $i$ komen. Dan geldt dat

$$m^{\sigma}_i(v)=v(S\cup \{i\})-v(S)=v(\{i\}),$$ omdat speler $i$ een dummyspeler is. Voor de Shapleywaarde van speler $i$ geldt dan dat:
$$\begin{align} \varphi_i(v)& = \frac{1}{n!}\sum_{\mbox{alle}\ \sigma}m_i^{\sigma}(v)\\ &= \frac{1}{n!}\sum_{\mbox{alle}\ \sigma}v(\{i\})\\ &= \frac{1}{n!}\cdot n!\cdot v(\{i\})=v(\{i\}). \end{align}$$
Merk op dat de derde gelijkheid geldt, vanwege het feit dat er voor elke volgorde de waarde $v(\{i\})$ wordt opgeteld. Omdat er in totaal $n!$ volgorden zijn, levert deze sommatie dus $n!\cdot v(\{i\})$ op. De Shapleywaarde heeft dus inderdaad de dummy eigenschap.