We bepalen de extrema van $y(x)=-2x^3+3x^2+12x+5$ voor $0 \leq x \leq 5$.
Daarvoor gebruiken we een vijf-stappenplan.
Stap 1: $y'(x)$ bepalen
$y'(x)=-6x^2+6x+12$.
Stap 2: Stationaire punten vinden
$$\begin{align}
y'(x)=0 &\Leftrightarrow -6x^2+6x+12=0\\
&\Leftrightarrow x^2-x-2=0\\
&\Leftrightarrow (x-2)(x+1)=0\\
&\Leftrightarrow x=-1 \mbox{ of } x=2.
\end{align}$$
$x=-1$ ligt buiten het domein van de functie, dus $x=2$ is het enige stationaire punt.
Stap 3: $y(c)$ bepalen
$y(2)=25$.
Stap 4: $y(a)$ bepalen voor $a<c$
$y(0)=5$.
Stap 5: $y(b)$ bepalen voor $b>c$
$y(5)=-110$.
Conclusie
Omdat $y(0)<y(2)$ en $y(5)<y(2)$:
$y(0)=5$ is een randminimum
$y(2)=25$ is een maximum
$y(5)=-110$ is een randminimum
Daarvoor gebruiken we een vijf-stappenplan.
Stap 1: $y'(x)$ bepalen
$y'(x)=-6x^2+6x+12$.
Stap 2: Stationaire punten vinden
$$\begin{align}
y'(x)=0 &\Leftrightarrow -6x^2+6x+12=0\\
&\Leftrightarrow x^2-x-2=0\\
&\Leftrightarrow (x-2)(x+1)=0\\
&\Leftrightarrow x=-1 \mbox{ of } x=2.
\end{align}$$
$x=-1$ ligt buiten het domein van de functie, dus $x=2$ is het enige stationaire punt.
Stap 3: $y(c)$ bepalen
$y(2)=25$.
Stap 4: $y(a)$ bepalen voor $a<c$
$y(0)=5$.
Stap 5: $y(b)$ bepalen voor $b>c$
$y(5)=-110$.
Conclusie
Omdat $y(0)<y(2)$ en $y(5)<y(2)$:
$y(0)=5$ is een randminimum
$y(2)=25$ is een maximum
$y(5)=-110$ is een randminimum