Integraal

Definitie: Als $F(x)$ een primitieve is van $f(x)$, dan is de integraal van de functie $f(x)$ over het interval $[a,b]$, genoteerd als $\int_a^b f(x)dx$, gedefinieerd door
$$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a).$$

In plaats van $F(b)-F(a)$ noteren we meestal $[F(x)]_{x=a}^{x=b}$.

Merk op dat we bij het berekenen van de integraal van een functie $f(x)$ slechts één (van de oneindig veel) mogelijke primitieve functies $F(x)+c$ nodig hebben. Voor de eenvoud kiezen we daarom meestal $c=0$.

Voorbeeld 1
$$\int_1^2 (3x^2+2) dx=[x^3+2x]_{x=1}^{x=2}=(2^3+2\cdot 2)-(1^3+2\cdot 1)=12-3=9.$$

Voorbeeld 2
$$\int_0^1 4e^x dx=[4e^x]_{x=0}^{x=1}=(4e^1)-(4e^0)=4e-4=4(e-1).$$

Voorbeeld 3
$$\int_3^8 \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx=[2\sqrt{x+1}]_{x=3}^{x=8}=(2\sqrt{9})-(2\sqrt{4})=6-4=2.$$