Oneigenlijke integraal (film)

Definitie: Een integraal waarbij de ondergrens en/of bovengrens oneindig is noemen we een oneigenlijke integraal.

Voorbeelden van oneigenlijke integralen zijn $\int_0^\infty \frac{1}{x}dx$ en $\int_{-\infty}^1 e^{2x}dx$.

Stappenplan
Om een oneigenlijke integraal te berekenen doorloop je de volgende drie stappen.

1. Vervang de oneindige integratiegrens door een variabele grens;
2. Bereken de nieuwe integraal;
3. Ga na wat er gebeurt wanneer de variabele grens naar oneindig gaat.

Voorbeeld
Beschouw de oneigenlijke integraal $\int_{-\infty}^1 e^{2x}dx$.

1. Het gebruik van een variabele grens $t$ geeft $\int_t^1 e^{2x}dx$;
2. $\int_t^1 e^{2x}dx=[\frac{1}{2}e^{2x}]_{x=t}^{x=1}=\frac{1}{2}e^2-\frac{1}{2}e^{2t}$;
3. Als $t\rightarrow -\infty$ dan $\frac{1}{2}e^2-\frac{1}{2}e^{2t} \rightarrow \frac{1}{2}e^2-0=\frac{1}{2}e^2$.

Conclusie: $\int_{-\infty}^1 e^{2x}dx=\frac{1}{2}e^2$.