Definitie: Een integraal waarbij de ondergrens en/of bovengrens oneindig is noemen we een oneigenlijke integraal.
Voorbeelden van oneigenlijke integralen zijn $\int_0^\infty \frac{1}{x}dx$ en $\int_{-\infty}^1 e^{2x}dx$.
Stappenplan
Om een oneigenlijke integraal te berekenen doorloop je de volgende drie stappen.
Beschouw de oneigenlijke integraal $\int_{-\infty}^1 e^{2x}dx$.
Voorbeelden van oneigenlijke integralen zijn $\int_0^\infty \frac{1}{x}dx$ en $\int_{-\infty}^1 e^{2x}dx$.
Stappenplan
Om een oneigenlijke integraal te berekenen doorloop je de volgende drie stappen.
- Vervang de oneindige integratiegrens door een variabele grens;
- Bereken de nieuwe integraal;
- Ga na wat er gebeurt wanneer de variabele grens naar oneindig gaat.
Beschouw de oneigenlijke integraal $\int_{-\infty}^1 e^{2x}dx$.
- Het gebruik van een variabele grens $t$ geeft $\int_t^1 e^{2x}dx$;
- $\int_t^1 e^{2x}dx=[\frac{1}{2}e^{2x}]_{x=t}^{x=1}=\frac{1}{2}e^2-\frac{1}{2}e^{2t}$;
- Als $t\rightarrow -\infty$ dan $\frac{1}{2}e^2-\frac{1}{2}e^{2t} \rightarrow \frac{1}{2}e^2-0=\frac{1}{2}e^2$.