Voorbeeld (film)

We berekenen de waarde van de integraal $\int_{-\infty}^1 (2^x+e^{2x})dx$.

Uit de lijst met primitieven van elementaire functies volgt dat $2^x/\ln 2$ een primitieve is van $2^x$ en dat $\frac{1}{2}e^{2x}$ een primitieve is van $e^{2x}$. Passen we de somregel toe dan zien we dat $F(x)=2^x/\ln 2+\frac{1}{2}e^{2x}$ een primitieve is van $f(x)=2^x+e^{2x}$.

Om de oneigenlijke integraal $\int_{-\infty}^1 (2^x+e^{2x})dx$ op te lossen, vervangen we de oneindige grens door een variabele grens $t$ en lossen de resulterende integraal op.
$$\int_t^1 (2^x+e^{2x})dx=[2^x/\ln 2+\tfrac{1}{2}e^{2x}]_{x=t}^{x=1}=(2/\ln 2+\tfrac{1}{2}e^2)-(2^t/\ln 2+\tfrac{1}{2}e^{2t}).$$
Aangezien $2^t\rightarrow 0$ en $e^{2t}\rightarrow 0$ als $t\rightarrow\infty$, volgt dat
$$(2/\ln 2+\tfrac{1}{2}e^2)-(2^t/\ln 2+\tfrac{1}{2}e^{2t})\rightarrow (2/\ln 2+\tfrac{1}{2}e^2)-(0+0).$$

Conclusie: $\int_{-\infty}^1 (2^x+e^{2x})dx=2/\ln 2+\tfrac{1}{2}e^2$.