Introductie: Bij het berekenen van een integraal hebben we een primitieve nodig. Het bepalen van een primitieve van een functie wordt primitiveren genoemd. In onderstaande tabel staan primitieven van enkele elementaire functies gegeven.
$$
\begin{array}{c|ll|l}
& f(x) && F(x)\\
\hline
(1) & c & & cx\\[2mm]
(2) & x^k & (k\not=-1) & \dfrac{x^{k+1}}{k+1}\\[2mm]
(3) & \dfrac{1}{x} & (x>0) & \ln{x}\\[2mm]
(4) & e^{ax} & (a\not=0)& \dfrac{e^{ax}}{a}\\[2mm]
(5) & a^x & (a>0,a\not=1) & \dfrac{a^x}{\ln{a}}\\[2mm]
\end{array}
$$
Bovenstaande tabel vormt een handig hulpmiddel bij het vinden van een primitieve.
Voorbeeld
$$
\begin{array}{c|ll|l}
& f(x) && F(x)\\
\hline
(1) & c & & cx\\[2mm]
(2) & x^k & (k\not=-1) & \dfrac{x^{k+1}}{k+1}\\[2mm]
(3) & \dfrac{1}{x} & (x>0) & \ln{x}\\[2mm]
(4) & e^{ax} & (a\not=0)& \dfrac{e^{ax}}{a}\\[2mm]
(5) & a^x & (a>0,a\not=1) & \dfrac{a^x}{\ln{a}}\\[2mm]
\end{array}
$$
Bovenstaande tabel vormt een handig hulpmiddel bij het vinden van een primitieve.
Voorbeeld
- Uit (1) volgt dat $F(x)=\sqrt{113}x$ een primitieve is van $f(x)=\sqrt{113}$;
- Uit (2) volgt dat $F(x)=\frac{45}{21}x^{21}=2\frac{1}{7}x^{21}$ een primitieve is van $f(x)=45x^{20}$;
- Uit (3) volgt dat $F(x)=3\ln x$ een primitieve is van $f(x)=3/x$;
- Uit (4) volgt dat $F(x)=\frac{1}{12}e^{12x}$ een primitieve is van $f(x)=e^{12x}$.
- Uit (5) volgt dat $F(x)=5^x/\ln{5}$ een primitieve is van $f(x)=5^x$;