Definitie: Een functie $F(x)$ is een primitieve van een functie $f(x)$ als $F'(x)=f(x)$.
Voorbeelden
Merk op dat in voorbeeld 1 niet alleen $F(x)=x^3+2x$, maar ook $F(x)=x^3+2x+4$, $F(x)=x^3+2x-16$ en $F(x)=x^3+2x - 2\sqrt{5}$ primitieven zijn van $f(x)=3x^2+2$. Dit geeft aanleiding tot de volgende stelling.
Stelling: Als de functie $F(x)$ een primitieve van de functie $f(x)$ is, dan is ook $F(x)+c$ een primitieve van $f(x)$, voor iedere constante $c$.
In voorbeeld 2 en 3 geldt dus dat $F(x)=4e^x+c$ en $F(x)=2\sqrt{x+1}+c$ alle primitieven beschrijven van de functies $f(x)=4e^x$, respectievelijk $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$.
Voorbeelden
- $F(x)=x^3+2x$ is een primitieve van $f(x)=3x^2+2$, want $F'(x)=f(x)$;
- $F(x)=4e^x$ is een primitieve van $f(x)=4e^x$, want $F'(x)=f(x)$;
- $F(x)=2\sqrt{x+1}$ is een primitieve van $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$, want $F'(x)=f(x)$.
Merk op dat in voorbeeld 1 niet alleen $F(x)=x^3+2x$, maar ook $F(x)=x^3+2x+4$, $F(x)=x^3+2x-16$ en $F(x)=x^3+2x - 2\sqrt{5}$ primitieven zijn van $f(x)=3x^2+2$. Dit geeft aanleiding tot de volgende stelling.
Stelling: Als de functie $F(x)$ een primitieve van de functie $f(x)$ is, dan is ook $F(x)+c$ een primitieve van $f(x)$, voor iedere constante $c$.
In voorbeeld 2 en 3 geldt dus dat $F(x)=4e^x+c$ en $F(x)=2\sqrt{x+1}+c$ alle primitieven beschrijven van de functies $f(x)=4e^x$, respectievelijk $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$.