Voorbeeld 2 (film)

De onderstaande tabel geeft nogmaals het driepersoonsspel $(N,v)$ van Voorbeeld 1.

$S$	$\{1\}$	$\{2\}$	$\{3\}$	$\{1,2\}$	$\{1,3\}$	$\{2,3\}$	$\{1,2,3\}$
$v(S)$	$0$	$0$	$0$	$6$	$7$	$8$	$10$

We kunnen op met behulp van de (on)gelijkheden laten zien dat dit spel een lege core heeft. Allereerst schrijven we uit aan welke (on)gelijkheden een verdeling $x$ die in de core van dit spel ligt moet voldoen:
$$\begin{align} x_{1}+x_{2}+x_{3} &=v(\{1,2,3\})=10, \\ x_{1} &\geq v(\{1\})\phantom{,2,3}= \phantom{1}0,\\ x_{2} &\geq v(\{2\})\phantom{,1,3}=\phantom{1}0,\\ x_{3} &\geq v(\{3\})\phantom{,1,2}=\phantom{1}0,\\ x_{1}+x_{2} &\geq v(\{1,2\})\phantom{,3} = \phantom{1}6,\\ x_{1}+x_{3} &\geq v(\{1,3\})\phantom{,2}= \phantom{1}7,\\ x_{2}+x_{3} &\geq v(\{2,3\})\phantom{,1}= \phantom{1}8. \end{align}$$

Stel dat de core niet leeg is. Dan is er een verdeling $(x_1,x_2,x_3)$ die in de core ligt. Voor deze verdeling geldt (volgens conditie 2. uitgeschreven voor alle tweepersoonscoalities) dat
$$\begin{align} x_{1}+x_{2} &\geq 6, \\ x_{1}+x_{3} &\geq 7, \\ x_{2}+x_{3} &\geq 8. \end{align}$$
Wanneer we deze ongelijkheden bij elkaar optellen, zien we dat er geldt dat
$$2x_1+2x_2+2x_3\geq 6+7+8$$
ofwel
$$2(x_1+x_2+x_3)\geq 21.$$
 Aan de andere kant weten we dat ook conditie 1. geldt en dus dat
$$x_1+x_2+x_3=10.$$
 Vullen we dit in in $2(x_1+x_2+x_3)\geq 21$, dan krijgen we $$20\geq 21.$$ Dit is een tegenspraak, dus $(x_1,x_2,x_3)$ kan geen core-element zijn. Er zijn dus geen verdelingen die aan alle condities van de core voldoen, dus de core is leeg.