Gegeven is de functie $y(x) = \tfrac{1}{2}x^2 -2x + 1$, ($x\geq 2$). Vind de inverse functie $x(y)$ en zijn domein.
De inverse functie vinden we door de functie $y(x)$ om te schrijven. We maken hierbij gebruik van het discriminantencriterium (bij $(*)$):
$$
\begin{align}
y &= \tfrac{1}{2}x^2 -2x + 1\\
0 &= \tfrac{1}{2}x^2 -2x + (1-y)\\
x &\stackrel{(*)}{=} \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2- 4\cdot \tfrac{1}{2}\cdot(1-y)}}{2\cdot \tfrac{1}{2}} = \dfrac{2 \pm \sqrt{4- 2(1-y)}}{1} = 2 \pm \sqrt{4 - 2 +2y} = 2\pm \sqrt{2+2y}.
\end{align}
$$
We hebben nu dus twee mogelijke inverse functies: $ x(y) = 2 + \sqrt{2 + 2y}$ of $x(y) = 2 - \sqrt{2+2y}$. Omdat gegeven is dat $x\geq 2$, valt de tweede af. De inverse functie is dus
$$x(y) = 2 + \sqrt{2+2y}.$$
Omdat hetgeen dat onder de wortel staat, niet negatief mag zijn, bestaat het domein van deze functie uit alle $y$ waarvoor geldt dat
$$2 + 2y \geq 0 \qquad \rightarrow \qquad 2y \geq -2 \qquad \rightarrow \qquad y \geq -1.$$
De inverse functie vinden we door de functie $y(x)$ om te schrijven. We maken hierbij gebruik van het discriminantencriterium (bij $(*)$):
$$
\begin{align}
y &= \tfrac{1}{2}x^2 -2x + 1\\
0 &= \tfrac{1}{2}x^2 -2x + (1-y)\\
x &\stackrel{(*)}{=} \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2- 4\cdot \tfrac{1}{2}\cdot(1-y)}}{2\cdot \tfrac{1}{2}} = \dfrac{2 \pm \sqrt{4- 2(1-y)}}{1} = 2 \pm \sqrt{4 - 2 +2y} = 2\pm \sqrt{2+2y}.
\end{align}
$$
We hebben nu dus twee mogelijke inverse functies: $ x(y) = 2 + \sqrt{2 + 2y}$ of $x(y) = 2 - \sqrt{2+2y}$. Omdat gegeven is dat $x\geq 2$, valt de tweede af. De inverse functie is dus
$$x(y) = 2 + \sqrt{2+2y}.$$
Omdat hetgeen dat onder de wortel staat, niet negatief mag zijn, bestaat het domein van deze functie uit alle $y$ waarvoor geldt dat
$$2 + 2y \geq 0 \qquad \rightarrow \qquad 2y \geq -2 \qquad \rightarrow \qquad y \geq -1.$$