Beschouw de functie $y(x)=x^4-x^3+2$. Er geldt
- $y'(x)=4x^3-3x^2$;
- $y''(x)=12x^2-6x$.
Oplossen van $y''(x)=0$ geeft
$$12x^2-6x=0\Leftrightarrow 12x(x-\frac{1}{2})=0\Leftrightarrow x=0 \mbox{ of } x=\frac{1}{2}.$$
We kunnen nu de volgende gevallen onderscheiden:
- $y''(x)\geq 0$ voor iedere $x\leq 0$;
- $y''(x)=0$ voor $x=0$;
- $y''(x)\leq 0$ voor iedere $0\leq x\leq \frac{1}{2}$;
- $y''(x)=0$ voor $x=\frac{1}{2}$;
- $y''(x)\geq 0$ voor iedere $x\geq \frac{1}{2}$.
Conclusie: $y(x)$ is concaaf op het interval $[0,\frac{1}{2}]$, $y(x)$ is convex op de intervallen $(-\infty,0]$ en $[\frac{1}{2},\infty)$, en $x=0$ en $x=\frac{1}{2}$ zijn buigpunten.