Gegeven is de functie $y(x) = x^5 + x^3 + x + 1$. Bepaal $x'(1)$.
Antwoord 1 correct
Correct
Antwoord 2 optie
$x'(1) = \dfrac{1}{9}$.
Antwoord 2 correct
Fout
Antwoord 3 optie
$x'(1) = \dfrac{1}{4}$.
Antwoord 3 correct
Fout
Antwoord 4 optie
$x'(1)$ is niet te bepalen, omdat er geen expliciete uitdrukking is voor $x(y)$.
Antwoord 4 correct
Fout
Antwoord 1 optie
$x'(1) = 1$.
Antwoord 1 feedback
Correct: Omdat er geen uitdrukking voor $x(y)$ bepaald kan worden, zullen we gebruik maken van
$$x'(y) = \dfrac{1}{y'(x(y))} \qquad \text{dus} \qquad x'(1) = \dfrac{1}{y'(x(1))}.$$
Om dit te kunnen gebruiken, zullen we dus eerst $y'(x)$ en $x(1)$ moeten bepalen. De afgeleide van $y(x) =x^5 + x^3 + x + 1$ is
$$y'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1.$$
Bedenk verder dat $x(1)$ niets anders is dan de waarde van $x$ waarvoor $y$ gelijk is aan 1, dus zullen we $y(x) = 1$ moeten oplossen:
$$
\begin{align*}
1&= x^5 + x^3 + x + 1\\
0 &= x^5 + x^3 + x = x(x^4 + x^2 + 1)\\
x = 0 &\mbox{ or } x^4 +x^2 + 1 = 0\\
&\phantom{\mbox{ or }} ~~~ x^4 + x^2 = -1 \qquad \text{niet mogelijk}
\end{align*}
$$
Omdat $x^4\geq0$ en $x^2\geq0$, geldt ook dat $x^4+x^2\geq0$, dus zal $x^4 + x^2 = -1$ geen oplossing geven. De enige oplossing is $x(1)=0$.
We kunnen nu $x'(1)$ bepalen:
$$x'(1) = \dfrac{1}{y'(x(1))} = \dfrac{1}{y'(0)} = \dfrac{1}{5\cdot0^4 + 3\cdot0^2 + 1} = \dfrac{1}{1} = 1.$$
Ga door.
$$x'(y) = \dfrac{1}{y'(x(y))} \qquad \text{dus} \qquad x'(1) = \dfrac{1}{y'(x(1))}.$$
Om dit te kunnen gebruiken, zullen we dus eerst $y'(x)$ en $x(1)$ moeten bepalen. De afgeleide van $y(x) =x^5 + x^3 + x + 1$ is
$$y'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1.$$
Bedenk verder dat $x(1)$ niets anders is dan de waarde van $x$ waarvoor $y$ gelijk is aan 1, dus zullen we $y(x) = 1$ moeten oplossen:
$$
\begin{align*}
1&= x^5 + x^3 + x + 1\\
0 &= x^5 + x^3 + x = x(x^4 + x^2 + 1)\\
x = 0 &\mbox{ or } x^4 +x^2 + 1 = 0\\
&\phantom{\mbox{ or }} ~~~ x^4 + x^2 = -1 \qquad \text{niet mogelijk}
\end{align*}
$$
Omdat $x^4\geq0$ en $x^2\geq0$, geldt ook dat $x^4+x^2\geq0$, dus zal $x^4 + x^2 = -1$ geen oplossing geven. De enige oplossing is $x(1)=0$.
We kunnen nu $x'(1)$ bepalen:
$$x'(1) = \dfrac{1}{y'(x(1))} = \dfrac{1}{y'(0)} = \dfrac{1}{5\cdot0^4 + 3\cdot0^2 + 1} = \dfrac{1}{1} = 1.$$
Ga door.
Antwoord 2 feedback
Fout: In de noemer van de breuk moet $y'(x(1))$ staan, niet $y'(1)$.
Zie Afgeleide inverse functie, Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.
Zie Afgeleide inverse functie, Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.
Antwoord 3 feedback
Fout: In de noemer van de breuk moet $y'(x(1))$ staan, niet $y(1)$.
Zie Afgeleide inverse functie, Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.
Zie Afgeleide inverse functie, Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.
Antwoord 4 feedback
Fout: We hebben geen expliciete uitdrukking voor $x(y)$ nodig om $x'(1)$ te bepalen.
Zie Afgeleide inverse functie, Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.
Zie Afgeleide inverse functie, Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.