Extra uitleg

Stelling: Als $x(y)$ de inverse is van $y(x)$ en $y'(x)$ de afgeleide van functie $y(x)$, dan geldt voor de afgeleide $x'(y)$ van de inverse van $y(x)$
\[x'(y) = \dfrac{1}{y'(x)} \qquad \text{waarbij} \qquad x = x(y).\]

Bewijs: De formule voor de afgeleide van de inverse functie lijkt uit het niets te komen, maar we kunnen deze bewijzen met behulp van de eigenschap van de inverse functie en de kettingregel.

We gebruiken:

1. $x(y(x)) = x$,
2. De afgeleide van $u(v(x))$ is gelijk aan $u'(v(x))v'(x)$.

Je kunt $x(y(x))$ ook zien als een samengestelde functie met $v(x) = y(x)$ en $u(v) = x(y)$. De afgeleide van $x(y(x))$ is dan
$$
\begin{align}
v'(x) &= y'(x)\\
u'(v) &= x'(y)\\
\tfrac{d}{dx} x(y(x)) &= u'(v(x))v'(x) = x'(y(x)) \cdot y'(x).
\end{align}
$$
We nemen nu de eigenschap van de inverse functie en vinden de afgeleide van zowel de linker- als de rechterzijde:
$$
\begin{align}
x(y(x)) &= x\\
\tfrac{d}{dx} x(y(x)) &= \tfrac{d}{dx} x\\
x'(y(x)) \cdot y'(x) &= 1\\
x'(y(x)) &= \dfrac{1}{y'(x)}\\
x'(y(x(y)) &= \dfrac{1}{y'(x(y))}\\
x'(y) &= \dfrac{1}{y'(x)} \qquad \text{waarbij} \qquad x=x(y).
\end{align}
$$
Bij de op één na laatste stap gebruiken we $x = x(y)$ en bij de laatste stap de eigenschap van de inverse functie, namelijk dat $y(x(y)) = y$.