Gegeven is de functie y(x)=x5+5x+3. Bepaal x′(3).
In dit geval is er geen uitdrukking voor x(y), dus zullen we x′(3) moeten bepalen met behulp van de Afgeleide inverse functie. We weten dat
x′(y)=1y′(x(y))dusx′(3)=1y′(x(3)).
Om dit te kunnen gebruiken, zullen we dus eerst y′(x) en x(3) moeten bepalen. De afgeleide van y(x)=x5+5x+3 is
y′(x)=5x4+5.
Bedenk verder dat x(3) niets anders is dan de waarde van x waarvoor y gelijk is aan 3, dus zullen we y(x)=3 moeten oplossen:
3=x5+5x+30=x5+5x=x(x4+5)x=0 or x4+5=0 or x4=−5niet mogelijk
Omdat x4 niet negatief kan zijn zal x4=−5 geen oplossing geven. De enige oplossing is x(3)=0.
We kunnen nu x′(3) bepalen:
x′(3)=1y′(x(3))=1y′(0)=15⋅04+5=15.
Je ziet dat we de afgeleide van x(y) kunnen bepalen zonder de functie x(y) zelf te kennen.
In dit geval is er geen uitdrukking voor x(y), dus zullen we x′(3) moeten bepalen met behulp van de Afgeleide inverse functie. We weten dat
x′(y)=1y′(x(y))dusx′(3)=1y′(x(3)).
Om dit te kunnen gebruiken, zullen we dus eerst y′(x) en x(3) moeten bepalen. De afgeleide van y(x)=x5+5x+3 is
y′(x)=5x4+5.
Bedenk verder dat x(3) niets anders is dan de waarde van x waarvoor y gelijk is aan 3, dus zullen we y(x)=3 moeten oplossen:
3=x5+5x+30=x5+5x=x(x4+5)x=0 or x4+5=0 or x4=−5niet mogelijk
Omdat x4 niet negatief kan zijn zal x4=−5 geen oplossing geven. De enige oplossing is x(3)=0.
We kunnen nu x′(3) bepalen:
x′(3)=1y′(x(3))=1y′(0)=15⋅04+5=15.
Je ziet dat we de afgeleide van x(y) kunnen bepalen zonder de functie x(y) zelf te kennen.