Gegeven is de functie $q(p) = \dfrac{200}{p+4}$. Bepaal $p'(4)$.
We zullen deze afgeleide op twee manier berekenen: met behulp van de Afgeleide inverse functie en met behulp van $p(q)$. Laten we het eerste via de nieuwe regel doen. We weten dat
$$p'(q) = \dfrac{1}{q'(p(q))} \qquad \text{dus} \qquad p'(4) = \dfrac{1}{q'(p(4))}.$$
Om dit te kunnen gebruiken, zullen we dus eerst $q'(p)$ en $p(4)$ moeten bepalen. De afgeleide van $q(p) = 200(p+4)^{-1}$ is
$$q'(p) = 200 \cdot (-1) (p+4)^{-1-1} \cdot 1 = -200(p+4)^{-2} = \dfrac{-200}{(p+4)^2}.$$
Bedenk verder dat $p(4)$ niets anders is dan de waarde van $p$ waarvoor $q$ gelijk is aan 4, dus zullen we $q(p) = 4$ moeten oplossen:
$$
\begin{align}
4 &= \dfrac{200}{p+4}\\
4(p+4) &= 200\\
p+4 &= \dfrac{200}{4} = 50\\
p &= 50-4 = 46.
\end{align}
$$
Dus $p(4) = 46$.
We kunnen nu $p'(4)$ bepalen:
$$p'(4) = \dfrac{1}{q'(p(4))} = \dfrac{1}{q'(46)} = \dfrac{1}{\tfrac{-200}{(46+4)^2}}= \dfrac{1}{\tfrac{-200}{2500}} = \dfrac{2500}{-200} = -12\tfrac{1}{2}.$$
In dit geval hebben we de expliciete uitdrukking $p(q) = \dfrac{200}{q} - 4 = 200q^{-1} - 4$ (zie Inverse functie: voorbeeld 1), dus die kunnen we ook rechtstreeks gebruiken. We krijgen dan
$$
\begin{align}
p'(q) &= 200 \cdot (-1) q^{-1-1} + 0 = -200q^{-2} = \dfrac{-200}{q^2}\\
p'(4) &= \dfrac{-200}{4^2} = \dfrac{-200}{16} = -12\tfrac{1}{2}.
\end{align}
$$
Beide methodes geven dezelfde uitkomst, maar de tweede is duidelijk korter. Helaas kunnen we die niet altijd gebruiken. We hebben daarvoor immers de expliciete uitdrukking van de inverse functie nodig en die kunnen we niet altijd vinden, zoals je in Voorbeeld 2 zult zien.
We zullen deze afgeleide op twee manier berekenen: met behulp van de Afgeleide inverse functie en met behulp van $p(q)$. Laten we het eerste via de nieuwe regel doen. We weten dat
$$p'(q) = \dfrac{1}{q'(p(q))} \qquad \text{dus} \qquad p'(4) = \dfrac{1}{q'(p(4))}.$$
Om dit te kunnen gebruiken, zullen we dus eerst $q'(p)$ en $p(4)$ moeten bepalen. De afgeleide van $q(p) = 200(p+4)^{-1}$ is
$$q'(p) = 200 \cdot (-1) (p+4)^{-1-1} \cdot 1 = -200(p+4)^{-2} = \dfrac{-200}{(p+4)^2}.$$
Bedenk verder dat $p(4)$ niets anders is dan de waarde van $p$ waarvoor $q$ gelijk is aan 4, dus zullen we $q(p) = 4$ moeten oplossen:
$$
\begin{align}
4 &= \dfrac{200}{p+4}\\
4(p+4) &= 200\\
p+4 &= \dfrac{200}{4} = 50\\
p &= 50-4 = 46.
\end{align}
$$
Dus $p(4) = 46$.
We kunnen nu $p'(4)$ bepalen:
$$p'(4) = \dfrac{1}{q'(p(4))} = \dfrac{1}{q'(46)} = \dfrac{1}{\tfrac{-200}{(46+4)^2}}= \dfrac{1}{\tfrac{-200}{2500}} = \dfrac{2500}{-200} = -12\tfrac{1}{2}.$$
In dit geval hebben we de expliciete uitdrukking $p(q) = \dfrac{200}{q} - 4 = 200q^{-1} - 4$ (zie Inverse functie: voorbeeld 1), dus die kunnen we ook rechtstreeks gebruiken. We krijgen dan
$$
\begin{align}
p'(q) &= 200 \cdot (-1) q^{-1-1} + 0 = -200q^{-2} = \dfrac{-200}{q^2}\\
p'(4) &= \dfrac{-200}{4^2} = \dfrac{-200}{16} = -12\tfrac{1}{2}.
\end{align}
$$
Beide methodes geven dezelfde uitkomst, maar de tweede is duidelijk korter. Helaas kunnen we die niet altijd gebruiken. We hebben daarvoor immers de expliciete uitdrukking van de inverse functie nodig en die kunnen we niet altijd vinden, zoals je in Voorbeeld 2 zult zien.