Voorbeeld 4

Gegeven is de functie $U(x,y) =2x^{\tfrac{1}{3}}y^{\tfrac{2}{3}}$. Bepaal de raaklijn aan de indifferentiekromme van $U(x,y)$ in het punt $(x,y)=(1,1)$.

De indifferentiekromme in het punt $(x,y)=(1,1)$ heeft de waarde
$$U(1,1) =  2\cdot1^{\tfrac{1}{3}}\cdot 1^{\tfrac{2}{3}} = 2.$$
Als we $U(x,y)=2$ herschrijven naar $y(x)$, krijgen we (zie Voorbeeld 2):
$$y(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\tfrac{1}{2}}.$$
We moeten nu dus de raaklijn aan de functie $y(x)$  bepalen in het punt $x=1$. De algemene vorm voor de raaklijn is
$$t(x) = ax + b,$$
waarbij $a$ de richtingscoëfficiënt van de raaklijn is en $b$ het snijpunt met de $y$-as. Als $t(x)$ een raaklijn is van $y(x)$ in het punt $x=1$, dan moet gelden dat:
$$(1)~y(1) = t(1) \qquad \text{en} \qquad (2)~y'(1) = t'(1).$$
We beginnen met $(2)$:
$$\begin{align} y'(x) &= -\dfrac{1}{2} x^{-\tfrac{1}{2}-1} = \dfrac{-1}{2x\sqrt{x}}\\ y'(1) &= \dfrac{-1}{2\cdot 1\cdot \sqrt{1}} = -\dfrac{1}{2}\\[1mm] t'(x) &= a\\ t'(1) &= a. \end{align}$$
Met andere woorden: $a=-\tfrac{1}{2}$, oftewel $t(x) = -\tfrac{1}{2}x + b$.We gebruiken nu $(1)$ om $b$ te bepalen:
$$\begin{align} y(1) &= \dfrac{1}{\sqrt{1}} = 1\\ t(1) &= -\tfrac{1}{2} \cdot 1 + b = -\tfrac{1}{2} + b \end{align}$$
Er geldt nu tenslotte dat
$$1 = -\tfrac{1}{2} + b, \qquad \text{dus} \qquad b = 1 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}.$$
De raaklijn aan de indifferentiekromme van $U(x,y) = 2x^{\tfrac{1}{3}}y^{\tfrac{2}{3}}$ in het punt $(1,1)$ is dus gelijk aan:
$$t(x) = -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{2}.$$