Gegeven is de functie
$$ z(x,y) = xy^2 + 3y.$$
Bepaal met behulp van de Eigenschap partiële afgeleiden hoeveel de functiewaarde ongeveer verandert ten opzichte van $z(3,1)$ als $y$ met $\tfrac{1}{10}$ toeneemt, terwijl $x$ ongewijzigd blijft.
$$ z(x,y) = xy^2 + 3y.$$
Bepaal met behulp van de Eigenschap partiële afgeleiden hoeveel de functiewaarde ongeveer verandert ten opzichte van $z(3,1)$ als $y$ met $\tfrac{1}{10}$ toeneemt, terwijl $x$ ongewijzigd blijft.
Antwoord 1 correct
Correct
Antwoord 2 optie
$\Delta z \approx 0.1.$
Antwoord 2 correct
Fout
Antwoord 3 optie
$\Delta z \approx 1.$
Antwoord 3 correct
Fout
Antwoord 4 optie
Is niet te bepalen, want er is geen verandering in de inputvariabele $x$ gegeven.
Antwoord 4 correct
Fout
Antwoord 1 optie
$\Delta z \approx 0.9.$
Antwoord 1 feedback
Correct: De verandering in de functiewaarde is bij benadering
$$\Delta z \approx z'_x(x,y) \Delta x + z'_y(x,y) \Delta y.$$
Er is gegeven dat
$$(x,y) = (3,1), \qquad \Delta x = 0 \qquad \text{en} \qquad \Delta y = \tfrac{1}{10}.$$
De partiële afgeleiden in $(3,1)$ zijn
$$
\begin{align*}
z'_x(x,y) &= y^2 &&& z'_x(3,1) &= 1^2 = 1,\\
z'_y(x,y) &= 2xy+3 &&& z'_y(3,1) &= 2\cdot3\cdot1 + 3 = 9.
\end{align*}
$$
De verandering in de functiewaarde is dus bij benadering
$$\Delta z \approx z'_x(3,1)\Delta x + z'_y(3,1)\Delta y = 1 \cdot 0 + 9 \cdot \tfrac{1}{10} = \tfrac{9}{10} = 0.9.$$
Ga door.
$$\Delta z \approx z'_x(x,y) \Delta x + z'_y(x,y) \Delta y.$$
Er is gegeven dat
$$(x,y) = (3,1), \qquad \Delta x = 0 \qquad \text{en} \qquad \Delta y = \tfrac{1}{10}.$$
De partiële afgeleiden in $(3,1)$ zijn
$$
\begin{align*}
z'_x(x,y) &= y^2 &&& z'_x(3,1) &= 1^2 = 1,\\
z'_y(x,y) &= 2xy+3 &&& z'_y(3,1) &= 2\cdot3\cdot1 + 3 = 9.
\end{align*}
$$
De verandering in de functiewaarde is dus bij benadering
$$\Delta z \approx z'_x(3,1)\Delta x + z'_y(3,1)\Delta y = 1 \cdot 0 + 9 \cdot \tfrac{1}{10} = \tfrac{9}{10} = 0.9.$$
Ga door.
Antwoord 2 feedback
Fout: Wat is de verandering in $x$? En wat is de verandering in $y$?
Zie Eigenschap partiële afgeleiden, Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.
Zie Eigenschap partiële afgeleiden, Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.
Antwoord 3 feedback
Antwoord 4 feedback
Fout: Er is wel degelijk iets gegeven over de verandering in de inputvariabele $x$.
Zie eventueel Eigenschap partiële afgeleiden, Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2 en probeer de opgave nogmaals.
Zie eventueel Eigenschap partiële afgeleiden, Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2 en probeer de opgave nogmaals.