Voorbeeld 1

Gegeven is de nutsfunctie
$$U(x,y) = 6\sqrt{xy}.$$
Een consument heeft 100 van goed $x$ en 2.25 van goed $y$. Zijn nut is dus
$$U(100,2.25) = 6\sqrt{100\cdot 2.25} = 6\sqrt{225} = 6\cdot15 = 90.$$
Wat zal zijn nut bij benadering zijn als hij 1 meer heeft van goed $x$ en 0.2 minder van goed $y$?

Volgens de benadering van de verandering in de functiewaarde geldt dat
$$\Delta U \approx U'_x(x,y) \Delta x + U'_y(x,y) \Delta y.$$
Er is gegeven dat
$$(x,y) = (100,2.25), \qquad \Delta x = 1 \qquad \text{en} \qquad \Delta y = -0.2.$$
We moeten nu dus nog de partiële afgeleiden bepalen in het punt $(x,y)=(100,2.25)$:
$$\begin{align} U(x,y) &= 6\sqrt{xy} = 6x^{\tfrac{1}{2}}y^{\tfrac{1}{2}}\\[1mm] U'_x(x,y) &= 6 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot x^{-\tfrac{1}{2}}y^{\tfrac{1}{2}} = 3\sqrt{\dfrac{y}{x}}\\ U'_x(100,2.25) &= 3\sqrt{\dfrac{2.25}{100}} = 0.45\\[1mm] U'_y(x,y) &= 6 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot x^{\tfrac{1}{2}}y^{-\tfrac{1}{2}} = 3\sqrt{\dfrac{x}{y}}\\ U'_y(100,2.25) &= 3\sqrt{\dfrac{100}{2.25}} = 20 \end{align}$$
De verandering in de functiewaarde is dan bij benadering
$$\Delta U \approx 0.45 \cdot 1 + 20 \cdot (-0.2) = -3.55.$$
De functiewaarde daalt dus bij benadering naar $90 - 3.55 = 86.45$.