Gegeven is de functie
$$ z(x,y) = x + e^{xy-6}.$$
Bepaal met behulp van Eigenschap partiële afgeleiden hoeveel de functiewaarde ongeveer verandert ten opzichte van $z(2,3)$ als $y$ met $\tfrac{1}{5}$ toeneemt, terwijl $x$ met $\tfrac{1}{4}$ afneemt.
$$ z(x,y) = x + e^{xy-6}.$$
Bepaal met behulp van Eigenschap partiële afgeleiden hoeveel de functiewaarde ongeveer verandert ten opzichte van $z(2,3)$ als $y$ met $\tfrac{1}{5}$ toeneemt, terwijl $x$ met $\tfrac{1}{4}$ afneemt.
Antwoord 1 correct
Correct
Antwoord 2 optie
$\Delta z \approx \tfrac{3}{10}.$
Antwoord 2 correct
Fout
Antwoord 3 optie
$\Delta z \approx \tfrac{7}{5}.$
Antwoord 3 correct
Fout
Antwoord 4 optie
Is niet te bepalen, want de inputvariabele $x$ daalt en dat kunnen we niet uitdrukken in $\Delta x$.
Antwoord 4 correct
Fout
Antwoord 1 optie
$\Delta z \approx -\tfrac{3}{5}.$
Antwoord 1 feedback
Correct: De verandering in de functiewaarde is bij benadering
$$\Delta z \approx z'_x(x,y) \Delta x + z'_y(x,y) \Delta y.$$
Er is gegeven dat
$$(x,y) = (2,3), \qquad \Delta x = -\tfrac{1}{4} \qquad \text{en} \qquad \Delta y = \tfrac{1}{5}.$$
De partiële afgeleiden in $(2,3)$ zijn
$$
\begin{align*}
z'_x(x,y) &= 1+e^{xy-6}\cdot y = 1 + ye^{xy-6} &&& z'_x(2,3) &= 1 + 3e^{2\cdot3-6} = 4,\\
z'_y(x,y) &= e^{xy-6}\cdot x = xe^{xy-6} &&& z'_y(2,3) &= 2e^{2\cdot3-6} = 2.
\end{align*}
$$
De verandering in de functiewaarde is dus bij benadering
$$\Delta z \approx z'_x(2,3)\Delta x + z'_y(2,3)\Delta y = 4 \cdot (-\tfrac{1}{4}) + 2 \cdot \tfrac{1}{5} = -1 + \tfrac{2}{5} = -\tfrac{3}{5}.$$
Ga door.
$$\Delta z \approx z'_x(x,y) \Delta x + z'_y(x,y) \Delta y.$$
Er is gegeven dat
$$(x,y) = (2,3), \qquad \Delta x = -\tfrac{1}{4} \qquad \text{en} \qquad \Delta y = \tfrac{1}{5}.$$
De partiële afgeleiden in $(2,3)$ zijn
$$
\begin{align*}
z'_x(x,y) &= 1+e^{xy-6}\cdot y = 1 + ye^{xy-6} &&& z'_x(2,3) &= 1 + 3e^{2\cdot3-6} = 4,\\
z'_y(x,y) &= e^{xy-6}\cdot x = xe^{xy-6} &&& z'_y(2,3) &= 2e^{2\cdot3-6} = 2.
\end{align*}
$$
De verandering in de functiewaarde is dus bij benadering
$$\Delta z \approx z'_x(2,3)\Delta x + z'_y(2,3)\Delta y = 4 \cdot (-\tfrac{1}{4}) + 2 \cdot \tfrac{1}{5} = -1 + \tfrac{2}{5} = -\tfrac{3}{5}.$$
Ga door.
Antwoord 2 feedback
Fout: Wat is de verandering in $x$? En wat is de verandering in $y$?
Zie Eigenschap partiële afgeleiden, Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.
Zie Eigenschap partiële afgeleiden, Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2.
Antwoord 3 feedback
Antwoord 4 feedback
Fout: Een daling in de inputvariabele is wel degelijk weer te geven in $\Delta x$.
Zie eventueel Eigenschap partiële afgeleiden, Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2 en probeer de opgave nogmaals.
Zie eventueel Eigenschap partiële afgeleiden, Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2 en probeer de opgave nogmaals.