Voorbeeld (filmpje)

We lossen het onderstaande gebonden optimalisatieprobleem op door middel van het eerste orde criterium.

• Maximaliseer $z(x,y)=2xy+3y$
• Onder de voorwaarde $4x+y=10$
• Met $x,y>0$

$\dfrac{z'_x(x,y)}{z'_y(x,y)}=\dfrac{g'_x(x,y)}{g'_y(x,y)}\Leftrightarrow \dfrac{2y}{2x+3} =\dfrac{4}{1}$. Dus $y=4x+6$.

Dit vullen we in in de restrictie: $4x+y=10$ wordt dan $4x+4x+6=10$. Oplossen naar $x$ geeft $x=\frac{1}{2}$.

Dus $y=4\cdot \frac{1}{2}+6=8$.

Dit geeft $z(\frac{1}{2},8)=32$. We moeten nu nog nagaan of dit een maximum is. Dit doen we door voor twee toegelaten combinaties van $x$ en $y$ de functiewaarde te bepalen; één met een kleinere $x$-waarde (en dus een grotere $y$ waarde) en één met een grotere $x$-waarde (en dus een kleinere $y$-waarde).

Omdat $z(1,6)=30<32=z(\frac{1}{2},8)$ en $z(\frac{1}{4},9)=31\frac{1}{2}<32=z(\frac{1}{2},8)$ geldt dat $z(\frac{1}{2},8)=32$ een maximum is.