Eerste-orde voorwaarde Lagrange

Introductie: Een gebonden extremumprobleem wordt gegeven door

• Optimaliseer $z(x,y)$                         
• Onder de voorwaarde $g(x,y)=k$
• Waarbij $x \in D_1$, $y \in D_2$                           

Methode: We stellen de functie $L$ op
$$L(x,y,\lambda)=z(x,y)-\lambda(g(x,y)-k),$$

en differentiëren naar de variabelen $x$, $y$ en $\lambda$:

• $L'_x(x,y,\lambda)=z'_x(x,y)-\lambda\cdot g'_x(x,y)$
   
• $L'_y(x,y,\lambda)=z'_y(x,y)-\lambda\cdot g'_y(x,y)$
   
• $L'_x(x,y,\lambda)= -g(x,y)+k$

Vervolgens stellen we al deze partiële afgeleiden gelijk aan nul en lossen het stelsel op om de optimumlocaties te vinden.

Opmerking 1: We moeten nog wel nagaan of het optimum een minimum of een maximum is.

Opmerking 2: $\lambda$ kan geinterpreteerd kan worden als 'schaduwprijs'.