Extra uitleg: Schaduwprijs

Introductie: Een gebonden extremumprobleem wordt gegeven door

• Optimaliseer $z(x,y)$                          (Dit is de doelfunctie)
• Onder de voorwaarde $g(x,y)=k$ (Dit is de restrictie)
• Waarbij $x \in D_1$, $y \in D_2$                   (Dit is het domein)

Opmerking: De methode van Lagrange levert een $\lambda$ op die we kunnen interpreteren als schaduwprijs. Deze schaduwprijs geeft een indicatie hoeveel de doelfunctie toeneemt als de restrictie wordt verzwakt door $k$ met één te laten toenemen.

Voorbeeld: Beschouw het onderstaande gebonden extremumprobleem (zie Voorbeeld (filmpje)).

• Maximaliseer $z(x,y)=2xy+3y$
• Onder de voorwaarde $4x+y=10$
• Met $x,y>0$

Het maximum is $z(\frac{1}{2},8)=32$ en $\lambda=4$. Deze $\lambda$ is de schaduwprijs die aangeeft dat als we het getal $10$ in de restrictie een klein beetje verhogen, de waarde van de doelfunctie $z$ met vier maal zoveel verhoogd wordt. Hetzelfde optimalisatieprobleem met $k=11$ in plaats van $10$ heeft dus bij benadering een $z$-waarde van $32+4\cdot 1=36$. Je kunt nagaan dat de exacte waarde $36\frac{1}{4}$ is.