Voorbeeld (filmpje)

We lossen het onderstaande gebonden optimalisatieprobleem op door middel van de Lagrange methode.

• Maximaliseer $z(x,y)=2xy+3y$
• Onder de voorwaarde $4x+y=10$
• Met $x,y>0$

$L(x,y,\lambda)=2xy+3y-\lambda(4x+y-10)$

We differentiëren naar de variabelen $x$, $y$ en $\lambda$:

• $L'_x(x,y,\lambda)=2y-4\lambda$,
   
• $L'_y(x,y,\lambda)=2x+3-\lambda$,
   
• $L'_{\lambda}(x,y,\lambda)=-4x-y+10$.

We stellen de eerste orde afgeleiden op nul en lossen het stelsel op: $L'_x(x,y,\lambda)=2y-4\lambda=0$ geeft $\frac{1}{2}y=\lambda$. Dit vullen we in bij $L'_y(x,y,\lambda)=2x+3-\lambda=0$ en dat geeft $4x+6=y$. Dat laatste vullen we in bij $L'_{\lambda}(x,y,\lambda)=4x+y-10=0$ en dat geeft $x=\frac{1}{2}$, wat resulteert in $y=8$ en $\lambda=4$. Omdat $z(\frac{1}{4},9)=31\frac{1}{2}$ en $z(1,6)=30$ geldt dat $z(\frac{1}{2},8)=32$ een maximum is met $\lambda=4$.