Extra uitleg

Stelling: Laat $(N,v)$ een coöperatief spel zijn met $n=2$. Dan zijn de core en de imputatieverzameling van $(N,v)$ gelijk.

Bewijs: We zullen met behulp van de definities van de imputatieverzameling en de core laten zien dat voor een coöperatief spel $(N,v)$, met $n=2$, de core en de imputatieverzameling hetzelfde zijn.

Definitie imputatieverzameling: De imputatieverzameling van een coöperatief spel $(N,v)$ bestaat uit alle verdelingen $x$ die aan de volgende condities voldoen:

• $\sum\limits_{i \in N}x_i=v(N),$
• $x_{i}\geq v(\{i\})$ voor iedere $i\in N.$

Definitie core: De core van een coöperatief spel $(N,v)$ bestaat uit alle verdelingen $x$ die aan de volgende condities voldoen:

• \item $\sum\limits_{i \in N}x_i=v(N)$,
• \item $\sum\limits_{i \in S}x_i \geq v(S)$ voor elke coalitie $S\subseteq N$.

Dus voor $n=2$ leiden deze definities beide tot de volgende condities voor $x$:

• $x_1+x_2=v(N)$,
• $x_1 \geq v(\{1\})$ en $x_2 \geq v(\{2\})$.

Opmerking: Het bovenstaande volgt uit het feit dat er alleen maar éénpersoonscoalities en de grote coalitie zijn in een tweepersoonsspel.