Laat een driepersoonsspel $(N,v)$ gegeven zijn door onderstaande tabel.

$S$ $\{1\}$ $\{2\}$ $\{3\}$ $\{1,2\}$ $\{1,3\}$ $\{2,3\}$ $\{1,2,3\}$
$v(S)$ $4$ $3$ $2$ $6$ $a$ $5$ $30$

Bepaal alle waarden van $a$ waarvoor jn de imputatieverzameling en de core van het bovenstaande spel aan elkaar gelijk zijn.

Voor geen enkele $a$

$a\leq 9$

$a\leq 6$

Voor alle $a$

Laat een driepersoonsspel $(N,v)$ gegeven zijn door onderstaande tabel.

$S$ $\{1\}$ $\{2\}$ $\{3\}$ $\{1,2\}$ $\{1,3\}$ $\{2,3\}$ $\{1,2,3\}$
$v(S)$ $4$ $3$ $2$ $6$ $a$ $5$ $30$

Bepaal alle waarden van $a$ waarvoor jn de imputatieverzameling en de core van het bovenstaande spel aan elkaar gelijk zijn.

Antwoord 1 correct
Fout
Antwoord 2 optie

$a\leq 9$

Antwoord 2 correct
Fout
Antwoord 3 optie

$a\leq 6$

Antwoord 3 correct
Correct
Antwoord 4 optie

Voor alle $a$

Antwoord 4 correct
Fout
Antwoord 1 optie

Voor geen enkele $a$

Antwoord 1 feedback

Fout: Neem bijvoorbeeld $a=0$. Dan komen de imputatieverzameling en de core overeen.

Zie Imputatieverzameling en Core.

Antwoord 2 feedback

Fout: Voor $a=8$ bijvoorbeeld zit de verdeling $x=(4,24,2)$ wel in de imputatieverzameling, maar niet in de core.

Zie Imputatieverzameling en Core.

Antwoord 3 feedback

Correct: Voor de éénpersoonscoalities van spelers 1 en 3 moet gelden dat
$$\begin{align*}x_1 \geq 4,\\x_3 \geq 2\end{align*}$$


Als we die ongelijkheden bij elkaar optellen, dan krijgen we
$$x_1+x_3 \geq 6.$$
Als $x$ een core-element is, dan moet bovendien gelden dat
$$x_1+x_3 \geq a.$$

Dus als $a \leq 6$, dan zal deze laatste ongelijkheid geen extra restricties opleggen aan een verdeling. Merk op dat de andere twee eisen betreffende de tweepersoonscoalities voor de core ook geen extra restricties opleggen. Dus als $a\leq6$, zijn de imputatieverzameling en de core gelijk.

 

Antwoord 4 feedback

Fout: Voor bijvoorbeeld $a=21$ zit de verdeling $x=(10,10,10)$ wel in de imputatieverzameling, maar niet in de core.

Zie Imputatieverzameling en Core.