Methode: We bepalen de oplossing uit de geveegde uitgebreide matrix.
| geveegde matrix | vereenvoudigd stelsel |
| (i) & $\left \{ \begin{array}{rrrrr} x_1&&&=&a\\ &x_2&&=&b\\ &&x_3&=&c\\ \end{array} \right.$ & |
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & a\\ 0 & 1 & 0 & | & b\\ 0 & 0 & 1 & | &c\\ \end{pmatrix} |
|
(ii) & $\left \{ |
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | &a\\ 0 & 1 & 0 & | & b\\ 0 & 0 & 0 & | &c\\ \end{pmatrix} |
| (iii) & $\left \{ \begin{array}{rrrrr} x_1&&&=&a\\ &x_2&&=&b\\ &&x_3+x_4&=&c\\ \end{array} \right.$ |
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 &| & a\\ 0 & 1 & 0 & 0 & | &b\\ 0 & 0 & 1 & 1 &| & c\\ \end{pmatrix} |
- Stelsel (i) heeft precies één oplossing, te weten $(x_1,x_2, x_3)=(a, b, c)$, welke waarden we ook kiezen voor $a$, $b$ en $c$. Dit zien we terug in de uitgebreide matrix, waar de hoofddiagonaal alleen enen bevat en alle andere elementen nul zijn.
- In stelsel (ii) liggen de waarden van $x_1$ en $x_2$ vast, welke waarden we ook kiezen voor $a$ en $b$. De derde vergelijking dient gelezen te worden als $0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3 = c$. Alleen voor $c=0$ klopt deze vergelijking. Voor alle andere waarden van $c$ heeft de vergelijking, en dus heel stelsel (ii), geen oplossing. Merk op dat in het geval $c=0$ het stelsel niet één maar oneindig veel oplossingen heeft. Voor iedere mogelijke waarde van $x_3$ is de derde vergelijking kloppend. We noemen $x_3$ daarom een vrije variabele en noteren alle oplossingen van het stelsel als $(x_1\, x_2, x_3)=(a, b, x_3)$, met $x_3\in\mathbb{R}$.
- Stelsel (iii) heeft voor iedere waarde van $a$, $b$ en $c$ oneindig veel oplossingen. De derde vergelijking bevat namelijk twee variabelen, waarvan er één vrij te kiezen is. Kiezen we $x_4$ als vrije variabele dan kunnen we alle oplossingen van het stelsel noteren als $(x_1, x_2, x_3, x_4)=(a,b, c-x_4,x_4)$, met $x_4\in\mathbb{R}$.