Inleiding: Bij het oplossen van een stelsel vergelijkingen zijn er drie mogelijkheden: het stelsel heeft geen, precies één of oneindig veel oplossingen. Wanneer we de uitgebreide matrix, behorende bij een gegeven stelsel vergelijkingen, vegen zijn er dus ook drie mogelijkheden voor het aantal oplossingen dat we vinden.
Methode:
Nadat we een stelsel vergelijking geveegd hebben, zijn er een aantal mogelijke vormen van het geveegde stelsel.
|
(i) |
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & a\\ 0 & 1 & 0 & | & b\\ 0 & 0 & 1 & | &c\\ \end{pmatrix} |
|
(ii) |
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | &a\\ 0 & 1 & 0 & | & b\\ 0 & 0 & 0 & | &c\\ \end{pmatrix} |
|
(iii) |
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 &| & a\\ 0 & 1 & 0 & 0 & | &b\\ 0 & 0 & 1 & 1 &| & c\\ \end{pmatrix} |
- Stelsel (i) heeft precies één oplossing, te weten $(x_1, x_2, x_3)=(a,b,c)$, welke waarden we ook kiezen voor $a$, $b$ en $c$.
- In stelsel (ii) liggen de waarden van $x_1$ en $x_2$ vast, welke waarden we ook kiezen voor $a$ en $b$. Alleen voor $c=0$ klopt de derde vergelijking. Voor alle andere waarden van $c$ heeft de vergelijking, en dus heel stelsel (ii), geen oplossing. Merk op dat in het geval $c=0$ het stelsel niet één maar oneindig veel oplossingen heeft. We noteren dan alle oplossingen van het stelsel als $(x_1, x_2, x_3)=(a, b, x_3)$, met $x_3\in\mathbb{R}$.
- Stelsel (iii) heeft voor iedere waarde van $a$, $b$ en $c$ oneindig veel oplossingen. We kunnen alle oplossingen van het stelsel noteren als $(x_1, x_2, x_3, x_4)=(a, b, c-x_4,x_4)$, met $x_4\in\mathbb{R}$.